一、高考要求 1. 能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等 , 求三角函数的最大值和最小值 . 2. 能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值 . 3. 会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决 . 最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一 , 需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等 , 也是函数内容的交汇点 , 常见方法有 : 1. 涉及正、余弦函数以及 asin+bcos, 可考虑利用三角函数的有界性 . 二、重点解析 三、知识要点 2. 形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通过适当变换、配方求解 . 3. 形如 sinx+cosx, sinxcosx 在关系式中时 , 可考虑换元法处理 .常见的三角换元 1. 若 x2+y2=1, 可设 x=cos, y=sin; 2. 若 a≤x2+y2≤b, 可设 x=rcos, y=rsin, a≤r2≤b; 3. 对于 1-x2 , 由于 |x|≤1, 可设 x=cos(0≤≤) 或 x=sin (- ≤≤ );2 2 4. 对于 1+x2 , 可设 x=tan(- << ) 或 x=cot(0<<); 2 2 5. 对于 x2-1 , 可设 x=sec(0≤< 或 <<) 或 x=csc (- ≤<0 或 0<≤ );2 2 2 2 6. 对于 x+y+z=xyz, 由在 △ ABC 中 , 有 tanA+tanB+tanC=tanA tanBtanC, 可设 x=tanA, y=tanB, z=tanC(A+B+C=); 7. 令 t=sinx+cosx, 则 2sinxcosx=t2-1, t[- 2, 2 ]. 典型例题1. 求函数 y=2sec2x+cot4x 的最值 . 解 : y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x ≥2+3 tan2xtan2xcot4x 3=2+3=5. 仅当 tan2x=cot4x, 即 tanx=1 时取等号 . ∴ 当 x=k (kZ) 时 , y 取最小值 5; 4 y 无最大值 . 解 : 由已知 y>0, 只需考察 y2 的最值 . = . 2716 y2=4cos2 cos2 sin2 2x 2x 2x ≤2( )3 2sin2 +cos2 +cos2 32x 2x 2x 仅当 2sin2 =cos2 , 即 tan = ( 0
