解析 方法一 设 BD＝a，则 BC＝ 3a， 作 CE⊥BA 交 BA 的延长线于 E， 可知∠DAC＝∠ACE， 在 Rt△ABD 中，sin B＝ 1BD＝1a. 在 Rt△BEC 中，CE＝BC·sin B＝ 3a·1a＝ 3， 第 3 讲 平面向量 【高考真题感悟】 (2010·天津)如图，在△ABC 中，AD⊥AB，BC→ ＝ 3 BD→ ，|AD→ |＝1，则AC→ ·AD→ ＝________. ∴cos ∠DAC＝cos ∠ACE＝ 3AC. ∴AD→ ·AC→ ＝|AD→ |·|AC→ |cos ∠DAC ＝AD·AC· 3AC＝ 3. 方法二 AC→ ＝AB→ ＋BC→ ＝AB→ ＋ 3BD→ ＝AB→ ＋ 3(BA→ ＋AD→ ) ＝(1－ 3)AB→ ＋ 3AD→ ∴AC→ ·AD→ ＝[(1－ 3)AB→ ＋ 3AD→ ]·AD→ ＝(1－ 3)AB→ ·AD→ ＋ 3AD→ 2＝ 3. 答案 3 考题分析 本题考查了平面向量的线性运算、平面向量的数量积．若从深层考虑，又考查了平面几何的基本方法，体现了知识与能力的考查．是平面向量考查的一个重要方向． 易错提醒 (1)从方法一的角度看，易忽视作辅助线，将问题分解．(2)从方法二的角度看，不能把AC→ 用AB→、AD→ 线性表示． (3)忽视AB→·AD→ ＝0，AD→ 2＝1 这些隐含条件的应用． 主干知识梳理 1．向量的概念 (1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为 a|a|. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2．向量的运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律． (2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与a，b的夹角有关，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉. 3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a∥b⇔ a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0； a⊥b⇔ a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0. 热点分类突破 题型一 向量的有关运算问题 例 1 已知|OA→ |＝1，|OB→ |＝ 3，OA→ ·OB→ ＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°，设OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ (m，n∈R)，则mn＝________. 解析 方法一 |OA→ |＝1，|OB→ |＝ 3，OA→ ·OB→ ＝0，...
