解析几何 失分点 23 直线的倾斜角与斜率关系不清致误 例1 已知直线 2xsin α＋2y－5＝0，则该直线的倾斜角 的变化范围是________． 错解 [0，3π4 ] 找准失分点 斜率的变化与倾斜角的关系不清． 失分原因与防范措施 本题出错的关键原因是学生忽略了倾斜角为 时无斜率.k=tanβ在［0，π）上不连续，当然 k=tanβ在［0，π)上并不单调.在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k的取值范围，再利用三角函数的单调性，借助函数的图象，数形结合，确定倾斜角的范围. 2π 正解 由题意，得直线 2xsin α＋2y－5＝0 的斜率为 k＝－sin α. 又－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1. 当－1≤k<0 时，倾斜角的变化范围是[3π4 ，π)； 当 0≤k≤1 时，倾斜角的变化范围是[0，π4]． 故直线的倾斜角的变化范围是[0，π4]∪[3π4 ，π)． 变式训练 1 直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－6，－3)，B(3，－2)为端点的线段相交，求 l 的倾斜角的取值范围． 解 如图所示，直线 l 的倾斜角从直线 PA 的倾斜角 α 逐渐增大至直线 PB 的倾斜角 β. kPA＝tan α＝2－(－3)－1＋6 ＝1， ∴α＝π4. kPB＝tan β＝2－(－2)－1－3 ＝－1， ∴β＝3π4 . ∴l 的倾斜角的取值范围是[π4，3π4 ]． 失分点 24 忽视曲线存在的条件致误 例2 已知圆 C 的方程为 x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定 点为 A(1,2)，且过定点 A(1,2)作圆的切线有两条，求a 的取值范围． 错解 将圆 C 的方程配方有(x＋a2)2＋(y＋1)2＝4－3a24. ∴圆心 C 的坐标为(－a2，－1)，半径 r＝ 4－3a22. 当点 A 在圆外时，过点 A 可以作圆的两条切线， ∴|AC|>r， 即 (1＋a2)2＋(2＋1)2> 4－3a22， 化简得 a2＋a＋9>0，Δ＝1－4×9＝－35<0， ∴a∈R. 找准失分点 忽视了 x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0 表示圆的条件． 失分原因与防范措施 二元二次方程表示圆是有条件的，必须有 D2+E2-4F>0.本题的失分原因是忽视了这个条件.在解决此类问题时，可以直接判断 D2+E2-4F>0，也可以配方后，判断方程右侧大于 0，因为右侧相当 于 r2. 正解 将圆 C 的方程配方有(x＋a2)2＋(y＋1)2＝4－3a24， ∴4－3a24>0，① ∴圆心 C 的坐标为(－a2，－1)，半径 r＝ 4－3a22. 当点 A 在圆外时，过点 A 可作圆的两条切线，∴|AC|>r， 即 (1＋a2)2＋(2＋1)2> 4－3a22， 化简得 a2＋a＋9>0.②...
