海伦和秦九韶 衡水中学数学组——李兰学习目标： 1 、了解“三斜求积”公式，记忆海伦公式，掌握公式推导的方法； 2 、能熟练选择、应用海伦或“三斜求积”公式计算三角形的面积。 3 、培养发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的能力，了解我国优秀的传统数学文化，激发数学学习兴趣。问题 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》里有这样一个记载：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”你能转化成数学语言并求出面积吗？ 一、问题引领 能否用上述方法推导直接含三角形三边的面积的公式吗？方法 ：1、12S 底 高 2、1sin2SacB 法 1 、勾股定理二、探究新知∴h=√𝑐2−𝑥2=√𝑐2−¿¿¿¿∴𝑆=√14[𝑎2𝑐2−(𝑐2+𝑎2−𝑏22)2]二、探究新知秦九韶的三斜求积术法 2 、余弦定理 𝑆=√14[𝑎2𝑐2−(𝑐2+𝑎2−𝑏22)2] 1247 年前后，南宋著名的数学家秦九韶在所著的《数书九章》中给出了一个用三边表达三角形面积的公式——三斜求积术，秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法 . 三斜求积术就是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之 . 为实：一为从隅，开平方得积 .” 即：三、文化了解三、文化了解 三斜求积术是《数书九章》 81 题中的一个，该书系统总结和发展了高次方程的数值解法和一次同余问题，被誉为“算中宝典”，其中同余理论比西方 1801 年著名数学家高斯早 554 年；而任意次方程的数值解，领先英国人霍纳 572 年，充分说明我国古代已具有很高的数学水平。在历史上，另一个公式()()()Sp papb pc，其中2abcp 我们把它叫做海伦公式，形式漂亮，便于记忆. 海伦（Heron）古希腊的数学家、测量学家和机械学家。公式出自他的代表作《度量术》，此书讨论平面图形的面积、立体图形的体积以及把图形分成比例部分。其中最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式。 虽然海伦公式与秦九韶形式上有所不同，但他们完全等价，你能利用秦九韶公式推导出海伦公式吗？• 四、公式证明• 四、公式证明𝑺=√𝒂+𝒃+𝒄𝟐⋅ 𝒃+𝒄−𝒂𝟐⋅ 𝒂+𝒄−𝒃𝟐⋅ 𝒂+𝒃−𝒄𝟐将 𝒑=𝒂+𝒃+𝒄𝟐带入上式，得:¿√𝒂+𝒃+𝒄𝟐⋅𝒂+𝒃+𝒄−𝟐𝒂𝟐⋅𝒂+𝒃+𝒄−𝟐𝒃𝟐⋅𝒂+𝒃+𝒄−𝟐𝒄𝟐¿√𝒂+𝒃+𝒄𝟐(𝒂+𝒃+𝒄𝟐−𝒂)(𝒂+𝒃+𝒄𝟐−𝒃)(𝒂+𝒃+𝒄𝟐−𝒄)𝑺=√𝒑(𝒑...
