导数的概念3.1 导数的概念 1. 曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy 如图 , 曲线 C 是函数y=f(x)的图象 ,P(x0,y0) 是曲线 C 上的任意一点 ,Q(x0+Δx,y0+Δy)为 P 邻近一点 ,PQ 为 C 的割线 ,PM//x 轴 ,QM//y 轴 ,β 为 PQ的倾斜角 ..tan,,:xyyMQxMP则.就是割线的斜率表明: xyPQoxyy=f(x)割线切线T请看当点 Q 沿着曲线逐渐向点 P 接近时 ,割线 PQ 绕着点 P 逐渐转动的情况 . 我们发现 , 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P 即Δx→0 时 , 割线 PQ 有一个极限位置 PT. 则我们把直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线 . 设切线的倾斜角为 α, 那么当 Δx→0 时 , 割线 PQ 的斜率 , 称为曲线在点 P 处的切线的斜率 .即 :xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线 这个概念 :① 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 ;② 切线斜率的本质——函数平均变化率的极限 . 要注意 , 曲线在某点处的切线 :1) 与该点的位置有关 ;2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解 . 如有极限 ,则在此点有切线 , 且切线是唯一的 ; 如不存在 , 则在此点处无切线 ;3) 曲线的切线 , 并不一定与曲线只有一个交点 ,可以有多个 , 甚至可以无穷多个 .例 1: 求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2) 处的切线方程 .QPy= x 2+1xy-111OM yx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此 , 切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 : 先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 , 然后利用点斜式求切线方程 .例 2: 已知曲线 上一点 P(1,2), 用斜率的定义求 过点 P 的切线的倾斜角和切线方程 .222 xy,22)1(2)1()1(,lim:20xfxfyxyKxP而解.12212422)1(24lim]22)1(2[)(24lim22)1(2limlim20220200xxxxxxxxxyxxxx.45,45,1tan等于点切线的倾斜角即过PK P故过点 P 的切线方程为 :y-2=1•(x-1), 即 y=x+1.练习 : 求曲线 上一点 P(1,-1) 处的切线方程 .31xy答案 :y=3x-4.2. 瞬时速度 已知物体作变速直线运动 , 其运动方程为 s =s(t)( s表示位移 ,t 表...