三垂线定理三垂线定理AAaaPPooαα 思考平面内有没有直线与平面的斜线思考平面内有没有直线与平面的斜线 POPO 垂直？垂直？ 什么叫平面的斜线、垂线、射影？什么叫平面的斜线、垂线、射影？AA PPooαα斜线斜足垂足垂线斜线段在平面上的射影 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理AAaaPPooαα已知 PA 、 PO 分别是平面的垂线、斜线，AO 是 PO 在平面上的射影。 a ， a⊥AO 。求证： a⊥PO证明： PA⊥,a ∴a⊥ 平面 PAOPA a⊥a⊥PO∴ AO⊥a∴直直 a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα注意：如果将定理中“ 在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα 已知： PA ，PO 分别是平面 的垂线和斜线， AO 是 PO 在平面 的射影 ,a ,a ⊥PO三垂线定理的逆定理成立吗？求证： a ⊥AO如何证明？PCBAO例 1 已知 P 是平面 ABC 外一点， PA⊥ 平面 ABC ， AC ⊥ BC ， 求证： PC ⊥ BC证明： P 是平面 ABC 外一点 PA⊥ 平面 ABC ∴PC 是平面 ABC 的斜线 ∴AC 是 PC 在平面 ABC 上的射影 BC 平面 ABC 且 AC ⊥ BC ∴ 由三垂线定理得 PC ⊥ BCM例 2 已知： PA⊥ 平面 PBC ， PB=PC ， M 是 BC 的中点， PMCABBC⊥AM证明 : PB=PC,M 是 BC 的点 PM ⊥BC PA⊥ 平面 PBC∴PM 是 AM 在平面 PBC 上的射影求证： BC⊥AM∴∴课堂练习：课堂练习： 11 、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确 (1)(1) 若若 aa 是平面是平面 αα 的斜线、直线的斜线、直线 bb 垂直于垂直于 aa 在在平面平面αα 内的射影，则内的射影，则 a⊥ba⊥b 。 。 ( ( ) ) 定理的关键找“平面”，在与平面内直定理的关键找“平面”，在与平面内直线垂直中斜线、射影可相互替换线垂直中斜线、射影可相互替换 强调：强调： (2)(2) 若若 aa 是平面是平面 αα 的斜线，的斜线， bb 是平面是平面 αα 内的直内的直线，线，且且 bb 垂直于垂直于 aa 在在 ββ 内的射影，则内的射影，则 a⊥ba⊥b 。 。 ( ( ) ) ××××三垂线定理三垂线定理PMCABPAO aαA1 C1 C B B1OAαaP练 2 ： PA...
