十重积分解题方法归纳VIP专享VIP免费

1 / 11 第十章 重积分解题方法归纳一、重积分的概念、性质重积分的定义是一个黎曼和的形式，对于一些和式的极限问题， 有时可根据定义，将其转化为重积分，再利用重积分的计算方法求解. 另外很多考试在选择题或填空题中，直接考查重积分的性质，常考的性质一般有：比较性质、对称性质、中值定理等 . 例 1（2010 年考研 数一、数二）2211lim()()nnnijnninj=（）112000011()( )(1)(1)(1)(1)xxAdxdyBdxdyxyxy11112000011()()(1)(1)(1)(1)CdxdyDdxdyxyxy解由于222211111()()nnnnijijnnninjninj而10111111limlim11nnnniidxininxn12220211111limlim11()nnnnjjndyjnjnyn因此1122200111lim()()(1)(1)nnnijndxdyninjxy故选 ()D . 『方法技巧』当遇到黎曼和的形式时， 经常考查积分的定义式， 在积分中，积分变量的符号是任意的，可根据题目的要求选取.例 2设( , , )f x y z 在2222( , , )Rx y z xyzR上连续，又(0,0,0)0f，则0R时，( , , )Rf x y z dv 是 R 的阶无穷小 .解由题意要确定0( , , )lim0RnRf x y z dvaR中的 n .2 / 11 由积分中值定理知，存在000(,,)Rxyz，使得30004( , , )(,,)3Rf x y z dvf xy zR因此30003300( , , )(,,)4limlim(0,0,0)03RRRf x y z dvf xyzRfRR故3n，即( , , )Rf x y z dv 是 R 的 3 阶无穷小 . 『方法技巧』要将被积函数从积分号内取出时，常会用到积分中值定理，尤其在证明题中经常遇到.二、重积分的计算方法当给定被积函数和积分区域时， 重积分是一个确定的数值 . 对于简单的函数，用性质或几何意义即可求得积分值；对一般函数，需要化为累次积分计算. 1. 重积分的计算方法归纳如下：(1) 利用重积分的性质计算重积分. (2) 利用重积分的几何意义（针对二重积分）计算重积分. (3) 直角坐标系下计算重积分. (4) 极坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下，计算重积分. (5) 利用换元法计算重积分 . 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分区域 D 关于 x （或 y ）轴对称，则10( ,)( , )( , )2( , )( ,)( , )DDf xyf x yf x y df x y df xyf x y（或10(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfx yf x yf x y df x y dfx yf x y）其中1D 是 D 在 x （或 y ）轴上（或右）方的部分 . （2）若积分区域 D 关于直线 yx 对称，则10( , )( , )( , )2( , )( , )( ,)DDf...