升级增分训练简化解析几何运算的5 个技巧1．(2016 ·四川高考 )设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点， M 是线段 PF 上的点，且 |PM |＝2|MF |，则直线 OM 的斜率的最大值为() A．33B．23C．22D．1 解析： 选 C如图所示，设P(x0，y0)(y0＞ 0)，则 y20＝2px0，即 x0＝ y202p．设 M (x′，y′)，由 PM―→＝2MF―→，得x′－x0＝2p2－x′，y′－y0＝2 0－y′，化简可得x′＝p＋x03，y′＝y03 .∴直线 OM 的斜率为 k＝y03p＋x03＝y0p＋y202p＝2p2p2y0 ＋y0≤2p22p2＝22 (当且仅当 y0＝2p 时取等号)．2．设双曲线x2a ＋y2b＝1 的一条渐近线为y＝－ 2x，且一个焦点与抛物线y＝14x2的焦点相同，则此双曲线的方程为() A．54x2－5y2＝1 B．5y2－54x2＝1 C． 5x2－54y2＝1 D．54y2－ 5x2＝1 解析： 选 D因为 x2＝4y 的焦点为 (0,1)，所以双曲线的焦点在y 轴上．因为双曲线的一条渐近线为y＝－ 2x，所以设双曲线的方程为y2－4x2＝ λ(λ＞0)，即y2λ－x2λ4＝1，则 λ＋λ4＝1，λ＝45，所以双曲线的方程为54y2－ 5x2＝1，故选 D．3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c，0)，F 2(c,0)，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→最小值的取值范围是－34c2，－ 12c2 ，则该双曲线的离心率的取值范围为 () A． (1，2] B．[2，2] C． (0，2] D．[2，＋∞ ) 解析： 选 B设 P(x0，y0)，则 PF 1―→·PF 2―→＝(－c－x0，－ y0) ·(c－x0，－ y0) ＝x20－c2＋y20＝a2 1＋y20b2 －c2＋y20，上式当 y0＝0 时取得最小值a2－ c2，根据已知－ 34c2≤a2－c2≤－12c2，即14c2≤a2≤12c2，即 2≤c2a2≤4，即2≤ca≤2，所以所求离心率的取值范围是[2，2]．4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点 F，斜率为 43的直线交抛物线于A，B 两点，若 AF―→ ＝λ FB―→(λ＞1)，则 λ 的值为 () A． 5 B．4 C．43D．52解析： 选 B根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 AF―→＝λ FB―→，得 p2－x1，－ y1 ＝λ x2－p2，y2 ，故－ y1＝λ y2，即 λ＝－ y1y2．设直线 AB 的方程为 y＝43 x－p2 ，联立直线与抛物线方程，消元得 y2－32py－p2＝0．故 y1＋y2＝32p，y1y2＝－ p2，y1＋ y22y1y2＝y1y2＋y2y1＋2＝－ 94，即－ λ－1λ＋2＝－ 94．又 λ＞1，解得 λ＝4．5．(2015 ·四川高考...
