第 1 页 共 7 页§8.3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有偏增量与偏微分f(xx y) f(x y) fx(x y) xf(xx y) f(x y)为函数对 x 的偏增量f x(x y) x 为函数对 x 的偏微分f(x yy) f(x y) fy(x y) yf(x yy) f(x y)为函数 )对 y 的偏增量f y(x y) y 为函数对 y 的偏微分全增量z f(xx yy) f(x y)计算全增量比较复杂我们希望用x、 y 的线性函数来近似代替之定义如果函数 z f(x y)在点(x y)的全增量z f(xx yy) f(x y) 可表示为))()(()(22yxoyBxAz其中 A、B 不依赖于x、 y 而仅与 x、y 有关则称函数 z f(x y)在点(x y)可微分而称 A x B y 为函数 z f(x y)在点(x y)的全微分记作 dz即第 2 页 共 7 页dz A x B y如果函数在区域D 内各点处都可微分那么称这函数在D 内可微分可微与连续可微必连续但偏导数存在不一定连续这是因为如果 z f(x y)在点(x y)可微 则z f(xx yy) f(x y) A x B y o( )于是0lim0 z从而),(]),([lim),(lim0)0,0(),(yxfzyxfyyxxfyx因此函数 z f(x y)在点(x y)处连续可微条件定理 1(必要条件 )如果函数 z f(x y)在点(x y)可微分则函数在该点的偏导数xz 、yz必定存在且函数 z f(x y)在点(x y)的全微分为yyzxxzdz证 设函数 z f(x y)在点 P(x y)可微分于是对于点 P 的某个邻域内的任意一点 P (xx yy)有z A x B y o( )特别当y 0 时有f (xx y) f(x y) A x o(| x|)上式两边各除以x 再令x0 而取极限就得Axyxfyxxfx),(),(lim0第 3 页 共 7 页从而偏导数xz 存在且Axz同理可证偏导数yz 存在且Byz所以yyzxxzdz简 要 证 明设 函 数z f(xy) 在 点 (xy) 可 微 分于 是 有z A x B y o( )特别当y 0 时有f (xx y) f(x y) A x o(| x|)上式两边各除以x 再令x0 而取极限就得AxxoAxyxfyxxfxx]|)(|[lim),(),(lim00从而xz 存在且Axz同理yz 存在且Byz所以yyzxxzdz偏导数xz 、yz 存在是可微分的必要条件但不是充分条件例如函数000),(222222yxyxyxxyyxf在点(0 0)处虽然有 f x(0 0) 0及 f y(00) 0 但函数在 (0 0)不可微分即 z [fx(0 0) x fy(0 0) y]不是较高阶的无穷小这是因为当 ( xy)沿直线 y x 趋于(0 0)时])0,0()0,0([yfxfzyx021)()()()(2222xxxxyxyx定理 2(充分条件 )第 4 页 共 7 页如果函数...
