高等数学教案§3 中值定理与导数的应用重庆三峡学院高等数学课程建设组第三章中值定理与导数的应用教学目的:1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、 知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。6、 知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点 :1、罗尔定理、拉格朗日中值定理;2、函数的极值,判断函数的单调性和求函数极值的方法;3、函数图形的凹凸性;4、洛必达法则。教学难点:1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用;2、极值的判断方法;3、图形的凹凸性及函数的图形描绘;4、洛必达法则的灵活运用。§3 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数 f(x)在点 x0 的某邻域 U(x0)内有定义并且在 x0 处可导如果对任意xU(x0)有f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0))那么 f (x0) 0罗尔定理如果函数 y f(x)在闭区间 [ a, b]上连续在开区间 (a, b)内可导且有 f(a) f(b)那么在 (a, b)内至少在一点使得 f ( ) 0简要证明 (1)如果 f(x)是常函数则 f (x) 0 定理的结论显然成立(2)如果 f(x)不是常函数则 f(x)在(ab)内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点(a b)于是0)()(lim)()(xfxfffx高等数学教案§3 中值定理与导数的应用重庆三峡学院高等数学课程建设组0)()(lim)()(xfxfffx所以 f (x)=0. 罗尔定理的几何意义二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间 [a b] 上连续在开区间 (a b)内可导那么在(a b)内至少有一点(a<