1 / 7 哈尔滨工业大学2004 至 2005 学年数学分析期末考试试题A 哈尔滨工业大学2004 -2005 学年秋季学期工科数学分析期末考试试卷（答案）试题卷（ A）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间： 150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70% 一．选择题（每题2 分，共 10 分）1．下列叙述中不正确者为（D ）（A）如果数列收敛，那么数列一定有界。（B）如果，则一定有。（C）在点处可导的充要条件是在点处可微。（D）如果函数在点处导数为，则必在该点处取得极值。2．设在 [0 ，1] 上则下列不等式正确者为（B ）（A）（B）（C）（D）3．若在上可积，则下列叙述中错误者为（D）（A）连续（B）在上可积（C）在上由界（D）在上连续4．若，则（D）（A）2 / 7 （B）（C）（D）5．（D）（A）（B）（C）（D）二．填空题（每题2 分，共 10 分）1．的间断点为：，其类型为：第一类间断点。2．的全部渐近线方程为：。3．摆线处的切线方程为：。4．=：1 。5．设在上可导，，则=：三．计算下列各题：（每小题4 分，本题满分 20 分）1．若，求解：2，则3 / 7 2．，解：，3. 解：==4．解：5. 已知，求解：=，所以。故4 / 7 四．解答下列各题：（每小题5 分，本题满分 10分）1. 已知数列，，求证：收敛，并且证明： 1) 证有界因为, 所以。假设，则。故有界。2）证单调因为，故为单调上升数列。由 1）和 2）知道收敛。设，由，所以有解得。而且为单调递增数列， 所以。故。2．设，曲线与三条直线所围平面部分绕x 轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？解：，由得，。当时，故当时，达到极大值，且为最大值。五：证明下列各题： （1，2 题各 4 分，3，4 题各 6 分，本题满分 20 分）5 / 7 1. 证明方程至少有一个不超过的正根。证明：设，显然它在上连续。（i ）若，则即为满足条件的根。（ii ）若，则。而，由零点定理知存在，使得。即为满足条件的根。2. 设函数且，试证：证明：由知道，所以。因为，故由积分中值定理知：，使得，即。3. 设在区间上有二阶导数。，证明：在区间内至少存在一点，使证明：将在与处展成一阶泰勒公式6 / 7 (1) (2) 令，注意到，(1),(2)有(3) (4) (4)- (3) 得：所以：取，即有。4. 设在区间上连续，且证明：存在一个使得证明：令，显然在上连续，在内可导，又，即。在由罗尔定理知，存在使得，即7 / 7 =
