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1 / 4 应用计算机数学05DIT （本试卷满分70 分, 任选 14 题, 每题 5 分）1．设 A,B,C 都是集合 , 若 ABAC 且 ABBC , 试证 B=C. 证： 证法 1 对xB , 则若 xA, 则()xAB . 由于 ABAC , 故()xAC , 即 xC ；若 xA , 则()xAB , 由于 ABAC, 故 xAC . 又 xA , 只能有xC . 因此,xB , 总有 xC , 故 BC . 同理可证 , CB . 因此 BC . 证法 2 ()()()()BBABBACBABC()()()()CABCCABCACC2．设 A、B是集合 , 证明 : ()()A BBABBB证：当 B时, 显然 ()()A BBABB , 得证 . 假 设 B, 则 必 存 在 xB , 使 得()xABB但()xABB , 故()()ABBABB 与题设矛盾 . 所以假设不成立 , 故 B. 3．下列命题是否成立？(1) ()()ABCAB C (2)()()AB CABC (3)()()ABCABB解：（1）, （2）都不成立 . 反例如下：（1）,{1}AC, 则 (){1};()ABCCABC. （2）{1},,{1}ABC, 则(){1};()ABCABC. 4. 设 A,B,C 是任意三个集合 , 则()()()AB CABAC证：( ,)()x yAB C, 有 xA且()yB C , 即 xA 且 yB但 x C . 于是xAB, 但 x A C , 从而有 ( , )() ()x yABAC , 故()AB C()AB( A)C , 反之设 ( , )() ()x yABAC , 有 xAB , yAC , 于是有： xA且 xB2 / 4 但x C,从而xA且()xBC即( ,)()x yAB C,于是()()ABACABC. 由集合相等定义有：()()AB CABAC5．设:fXY , 证明： f 是满射12 ,(( ))YEffEE . 证：（2）显然假设 f 不是满射 , 则0yY , 使得xX ,0( )f xy . 于是令0{}2YEy, 有1(())( )ffEf, 由题意得0{}Ey, 矛盾. 故 f 一定为满射 . 6．设{1,2,3,}N, 试构造两个映射f 和 g： NN , 使得NfgI但NgfI. 解：NfgI但NgfI, 故 f 是满射 , 但 f 不是单射 . 于是令：:,(1)1,( )1,2fNNff nnn,:,,( )1g NNnN g nn, 则NfgI但NgfI. 事实上 , 当 n＝1 时,(1)((1))(1)2gfg fg, 故NgfI. 7. 设:,:fXY g YZ , 则若 gf 是是单射 , 则 f 是单射吗？说明理由 . 解： f 是单射 . 假设 f 不是单射 , 则,,21Xxx使得),()(21xfxf于是)),(())((21xfgxfg即)()(21xgfxgf. 这与 gf 是是单射矛盾 , 所以 f 是单射 . 8．是否存在一个同时不满足自反性, 对称性 , 反对称性 , 传递性和反自反性地二元关系？解： 存在 . 设{ , , }Xa b c ,R 是 X 上地二...