活动 1 设计图案 许多图案设计都和圆有关，图 1 就是一些利用等分圆周设计出的图案，图 2 展示了设计一个雏菊图案的过程 .图 2 利用正多边形可以镶嵌整个平面的性质，还可以设计出一些美丽的图案，如图 你能画出其中的一些图案吗？请你再利用圆或正多边形设计一些图案，并与同学交流 .ABCD 活动 2 探究四点共圆的条件我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 不一定1. 四点在一条直线上不能作圆四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能做不出一个圆ABCDABCDABCD2. 三点在同一直线上 , 另一点不在这条直线上不能做圆举 例 图中给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！ABCDABCDABCD 试一试 分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系？证明你的发现 .∠A ＋∠ C=180°∠B ＋∠ D=180°发现：过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和为 180°.测 量ABCDABCD 四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形BADBCD和的圆心角的和是圆周角180ABCD 同理180BD所以圆内接四边形的相对两角之和为 180°.BCDA·O证 明 如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其两个相对的内角之间有上面的关系吗？·ABCDO其相对的两个内角之和不等于 180°.·ABCDEFO试结合图说明其中的道理？探 究>ACBAC'B>ACDAC'D+>+ACBACDAC'BAC'DBCD> BC'D+180BC'DA＝>180BCDA有所以·ABCDO连接 AC 并延长交⊙ O 与点 C´ ，连接 BC´ 和 DC´C´又因为点Ｃ／在⊙Ｏ上所以 ∠ A+∠BCD ＞∠ BC/D+∠A说 明由上面的探究，试归纳出判断过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件 .连接 AC 交⊙ O 与点 C´ ，连接 BC´ 和 DC´·ABCDEFOC´>AC'BACB，>AC'DACD+>+AC'BAC'DACBACD.>BC'DBCD.=180 ./ABC D <180 .BCDA有所以四边形相对的两个内角互补 , 四点共圆 .又因为点Ｃ／在⊙Ｏ上所以∠ A+∠BC/D ＞∠ BCD + ∠A.
