2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一般地，实数一般地，实数 λλ 与向量与向量 aa 的的积积是一个是一个向量向量，记作，记作 λλaa ，它的，它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1) |(1) |λλaa|=||=|λλ| || |aa||(2) (2) 当当 λ>0λ>0 时时 ,,λλaa 的方向与的方向与 aa 方向相方向相同；同； 当当 λ<0λ<0 时时 ,,λλaa 的方向与的方向与 aa 方方向相反； 向相反； 特别地，当特别地，当 λ=λ=00 或或 a=0a=0 时时 , , λa=0λa=0 设设 a,ba,b 为任意向量，为任意向量，λ,μλ,μ 为为任意实数任意实数，则有：，则有： ① ① λλ((μμaa)=()=(λμλμ)) aa ② ② ((λ+μλ+μ) ) a=a=λλa+a+μμaa ③ ③ λλ((a+ba+b)=)=λλa+a+λλbb θ=180°θ =90°已知两个非零向量 a 和 b ，作 OA=a ， OB=b ，则∠ AOB=θ （ 0°≤θ ≤180° ）叫做向量 a 与 b 的夹角。θ=0°特殊情况OBAθ 我们学过功的概念，即一个物体在力 F 的作用下产生位移 s （如图）θFS力 F 所做的功 W 可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中 θ 是 F 与 S 的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 θ ，我们把数量 |a| |b|cosθ 叫做a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b a·b=|a| |b| cosθ规定 : 零向量与任一向量的数量积为 0 。 |a| cosθ （ |b| cosθ ）叫做向量 a 在 b方向上（向量 b 在 a 方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？a·b=|a| |b| cosθ当 0°≤θ ＜ 90° 时 a·b 为正；当 90° ＜ θ ≤180° 时 a·b 为负。当 θ =90° 时 a·b 为零。 设 a ， b 都是非零向量， e 是与 b 方向相同的单位向量， θ 是 a 与 e 的夹角，则 （ 1 ） e·a=a·e = |a| cosθ（ 5 ） |a·b|≤|a||b|a·b|a||b|（ 4 ） cosθ=（ 3 ）当 a 与 b 同向时， a·b=|a||b|当 a 与 b 反向时， a·b= － |a| |b|特别地， a·a =|a|2 或 |a|=√a·a 。（ 2 ） ab a·b=0⊥OABθ abB1a·b=|a| |b| cosθ 解： a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4× （ -1/2 ） = － 10例 1 已知 |a|=5 ， |b|=4 ， a 与 b 的夹角 θ=120° ，求 a·b 。例 2 已知 a=(1,1),b=(2,0), 求 a·b 。解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° = 2 数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cosθ 的乘积。OABθ|b|cosθ abB1 已知△ ABC 的顶点 A （ 1 ， 1 ），B （ 4 ， 1 ）， C （ 4 ， 5 ）。计算 cosA, cosB, cosc. 1 . a·b=|a| |b| cosθ2. 数量积几何意义3. 重要性质
