第二十四章 圆专题 29 圆与全等三角形武汉专版 · 九年级上册一、利用等弦构造全等三角形1 ．如图， PA ， PB 是⊙ O 的两条弦， C 是劣弧 的中点，弦 CD⊥PA 于点 E ，求证： AE ＝ PE ＋ PB.2 ．如图， AE 是△ ABC 的外接圆⊙ O 的直径， AD 是△ ABC 的高， EF⊥BC 于 F ，求证： BF ＝ CD.AB︵【解析】在 AE 上截取 AF＝BP，连接 CA，CF，CB，CP.∵AC︵＝BC︵，∴AC＝BC.∴△CAF≌△CBP，∴CF＝CP.∵弦 CD⊥PA 于点 E，∴EF＝EP.∴AE＝AF＋EF＝PB＋PE.【解析】如图，过 O 作 OHBC⊥于 H ，则 CH ＝ BH. 过 O 作 OMAD⊥于 M ，直线 OM 交 EF 的延长线于 N. ADBC∵⊥， EFBC⊥，∴ AD EF.∥又∵ OMAD⊥，∴∠ OMA ＝∠ONE ＝ 90° ，∴△ OMAONE≌△，∴ OM ＝ ON. ADBC∵⊥， OHBC⊥， OMAD⊥，∴矩形 OHDM 中， OM ＝ DH. 同理 ON ＝ FH ，∴ DH ＝ FH ，∴ CH － DH ＝ BH － FH. 即 BF＝ CD.二、利用等半径构造全等三角形3 ．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦， AE⊥CD 于点 E ， BF⊥CD 于点 F.(1) 求证： CE ＝ DF ；(2) 若 AB ＝ 10 ， CD ＝ 8 ，求 BF － AE 的值．【解析】(1)取 EF 的中点 H，连接 EO 并延长交 BF 于点 G，连接 OH.∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥BF，∴可证△AOE≌△BOG，∴OE＝OG.∴OH 为△EFG 的中位线．∴OH∥FG.∴OH⊥CD，∴CH＝DH.∴CH－EH＝HD－HF，即 CE＝DF.(2)连接 OD.∵△AOE≌△BOG，∴AE＝BG.∴BF－AE＝BF－BG＝FG＝2OH.由(1)得 CH＝DH，∴DH＝12CD＝4.∵AB＝10，∴OD＝5，∴OH＝3.∴BF－AE＝6.4 ．如图，⊙ O 的直径 AB ＝ 12 ， E ， F 为 AB 的三等分点， M ， N 为弧 AB 上两点，∠ MEB ＝∠ NFB＝ 60° ，求 EM ＋ FN 的值．【解析】过点 O 作 OC⊥EM，交 EM 于点 C，交 NF 的延长线于点 D，连接 OM，ON.∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF.∵AB＝12，∴OE＝OF＝2，OM＝6.∵∠MEB＝∠NFB＝60°，∴CO＝DO＝ 3，EC＝DF＝1.易证 Rt△COM≌Rt△DON(HL)，∴CM＝DN.∴EM＋FN＝CM＋EC＋DN－DF＝2CM.∵CM2＝OM2－OC2＝36－3＝33，∴CM＝ 33.∴EM＋FN＝2CM＝2 33.
