第二十四章 圆专题 29 圆与全等三角形武汉专版 · 九年级上册一、利用等弦构造全等三角形1 ．如图， PA ， PB 是⊙ O 的两条弦， C 是劣弧 的中点，弦 CD⊥PA 于点 E ，求证： AE ＝ PE ＋ PB
2 ．如图， AE 是△ ABC 的外接圆⊙ O 的直径， AD 是△ ABC 的高， EF⊥BC 于 F ，求证： BF ＝ CD
AB︵【解析】在 AE 上截取 AF＝BP，连接 CA，CF，CB，CP
∵AC︵＝BC︵，∴AC＝BC
∴△CAF≌△CBP，∴CF＝CP
∵弦 CD⊥PA 于点 E，∴EF＝EP
∴AE＝AF＋EF＝PB＋PE
【解析】如图，过 O 作 OHBC⊥于 H ，则 CH ＝ BH
过 O 作 OMAD⊥于 M ，直线 OM 交 EF 的延长线于 N
ADBC∵⊥， EFBC⊥，∴ AD EF
∥又∵ OMAD⊥，∴∠ OMA ＝∠ONE ＝ 90° ，∴△ OMAONE≌△，∴ OM ＝ ON
ADBC∵⊥， OHBC⊥， OMAD⊥，∴矩形 OHDM 中， OM ＝ DH
同理 ON ＝ FH ，∴ DH ＝ FH ，∴ CH － DH ＝ BH － FH
即 BF＝ CD
二、利用等半径构造全等三角形3 ．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦， AE⊥CD 于点 E ， BF⊥CD 于点 F
(1) 求证： CE ＝ DF ；(2) 若 AB ＝ 10 ， CD ＝ 8 ，求 BF － AE 的值．【解析】(1)取 EF 的中点 H，连接 EO 并延长交 BF 于点 G，连接 OH
∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥BF，∴可证△AOE≌△BOG，∴OE＝OG
∴OH 为△EFG 的中位线．∴OH∥FG
∴OH⊥CD，∴CH＝DH
∴CH－EH＝HD－HF，即 CE＝DF
(2)连接 OD
