因式分解在解题中的应用因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数恒等变形的重要手段，在许多的有理数计算、代数式的化简、求值、解方程不等式及恒等式的证明、几何等诸多方面起者重要作用,现就涉及到因式分解应用的问题举例说明如下.一、求多项式中字母的值例 1 若是完全平方式，求 a 的值.分析：根据完全平方公式求待定系数或公式中的 a 或 b 完全平方公式有两个,所以=±,注意不要漏解.解：∵此多项式是完全平方式,∴=±,∴=±.当时, 当时, 二、求代数式的值例 2 已知 x-y=1,xy=2,求的值.分析：这类问题一般不适合解方程组求得 x、y 的值再代入计算,比较简便而常用的方法是先对所给的代数式进行因式分解,使之出现 xy 与 x-y 的式子,再整体代入求值.解： ∵x-y=1,xy=2, ∴说明：因式分解是恒等变形的重要手段.三、有关整除性的问题例 3 已知 n 是整数，证明能被 8 整除.分析：要证明能被 8 整除,只要将此式分解因式,说明各因式的积能被 8 整除即可.证明： ∵因为 n 是正整数,所以 n 与 n+1 是两个连续的整数,而两个连续的整数之间必有一个偶数,即能被 2 整除,所以 4能被 8 整除.故能被 8 整除.四、简化计算例 4 计算：（1）21×3.14+62×3.14+17×3.14 (2)(3)分析：此题若直接计算比较麻烦,我们学习了因式分解后一定要注意它的灵活运用,使问题的求解难度降到最低限度. （1）中每一项都有数“3.14”,可考虑运用提取公因式法分解因式; (2)可联想到平方差公式; (3)可联想到完全平方公式.解：(1) 21×3.14+62×3.14+17×3.14=3.14×(21+62+17)=3.14×100=314.(2) (3)原式= 五、判断三角形的形状例 5 已知 a，b，c 为△ABC 的三边，且，试判断△ABC 的形状.分析：要判断△ABC 的形状,只需从已知条件找到 a、b、c 关系,此时对的左边分解因式即可.解： ∵而 a，b，c 为△ABC 的三边,即 a+b＞c，∴只能 a-b=0，即 a=b，所以△ABC 的形状是等腰三角形,说明:这里应注意到三角形两边之和大于第三边,从而有 a+b-c＞0.六、证明不等式成立例 6 已知：a，b，c 为△ABC 的三边长.求证： ＞0.分析：运用完全平方公式、平方差公式分解因式，再综合三角形的三边关系定理进行分析论证.证明：∵a，b，c 为△ABC 的三边, ∴b+c-a＞0, b+c+a＞0. ∴ ＞0.
