第九讲 非负数 所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根． 1．实数的偶次幂是非负数 若 a 是任意实数，则 a2n≥0(n 为正整数)，特别地，当 n=1 时，有 a2≥0． 2．实数的绝对值是非负数 若 a 是实数，则 性质 绝对值最小的实数是零．` 3．一个正实数的算术根是非负数 4．非负数的其他性质 (1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若 a1，a2，…，an为非负数，则 a1＋a2＋…＋an≥0． (3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若 a1，a2，…，an为非负数，且 a1＋a2＋…＋an=0，则必有 a1＝a2＝…＝an＝0． 在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多． (4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数． (5)最小非负数为零，没有最大的非负数． (6)一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac 为非负数． 应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决． 解得 a=3，b=-2．代入代数式得 解 因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0． ① -(20x-3)2≥0． ② 由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以 原式=｜｜20±0｜＋20｜=40． 说明 本题解法中应用了“若 a≥0 且 a≤0，则 a=0”，这是个很有用的性质． 例 3 已知 x，y 为实数，且 解 因为 x，y 为实数，要使 y 的表达式有意义，必有 解 因为 a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0， 即 (a-2)2+(b-1)2=0． (a-2)2=0，且 (b-1)2=0． 所以 a=2，b=1．所以 例 5 已知 x，y 为实数，求 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3 的最小值和取得最小值时的 x，y 的值． 解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3 =x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2 =(x-y+1)2+(2x-y)2+2． 因为 x，y 为实数，所以 (x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以 u≥2．所以当 时，u 有最小值 2，此时 x=1，y=2． 例 6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0 的实数根的个数． 解 将原方程化为 a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0， 即 (ax-1)2+x2+a2+3=0． 对于任意实数 x，均有 (ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3 恒大于 0，故 (a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0 无实根． 例 7 求方程的实数根． ...
