正弦定理（一）【引例】如图，现要在河岸两侧 A，B 两点间建一座桥，需要知道 A，B 间的距离．由于环境因素不能直接测量 A，B 间的距离．你有办法求出 A，B 两点间的距离吗？ 实际测量中，往往是在与 A 同侧的沿岸公路上取一点 C，借助测量工具，测量 AC 两点间的距离，以及∠BAC 和∠BCA 的角度，那么这个实际问题就转化为下列数学问题： 如图 2，在△ABC 中，已知 A＝75º，C＝60º，AC＝100，求 AB． 在 Rt△ABD 中，AD＝ABsinB． 【问题 1】如图 2，在△ABC 中，已知 A＝75º，C＝60º，AC＝100，求 AB． 因为在 Rt△ACD 中，AD＝ACsinC． 所以 ACsinC＝AD＝ABsinB，即 AB＝ACsinCsinB ． 又因为 B＝180º－60º－75º＝45º，所以 AB＝100× 3222＝50 6． 【问题 2】：如果我们把已知条件中的角度做一些变化，还能用这种方法解决吗？ 例如 AC=100，∠BAC=45°保持不变，把∠C 改为 75°，90°，115°，那么求解的过程需要修改吗？ CABBACD如果将△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别记为 a，b，c，那么关键等式“ABsinB＝AD=ACsinC”抽掉中介AD,可以改写为 bsinC＝csinB，即 bsinB＝ csinC． 【问题 3】对于任意三角形这个式子还成立吗？如何验证你的猜想？ asinA＝ bsinB＝ csinC 在△ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 所对的边， 则有 asinA＝ bsinB＝ csinC． 正弦定理 在△ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 所对的边，则有 asinA＝ bsinB＝ csinC． 正弦定理【问题 4】说说你对正弦定理的认识! 谈谈你的收获！ 证明途径 （1） 转化为直角三角形的边角关系； （2） 建立直角坐标系，利用三角函数的定义； （3） 通过三角的形外接圆，将任意三角形问 题转化为直角三角形问题； （4） 利用向量的数量积产生三角函数； …… 感谢指导！
