第 1 页知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的根底。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个根本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分表达了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一、函数自身的对称性探究定理 1.函数 y=f(x)的图像关于点 A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：〔必要性〕设点 P(x,y)是 y=f(x)图像上任一点, 点 P(x,y)关于点 A(a,b)的对称点 P'〔2a－x,2b－y〕也在 y=f(x)图像上,2b－y=f(2a－x)即 y+f(2a－x)=2b 故 f(x)+f(2a－x)=2b,必要性得证。〔充分性〕设点 P(x0,y0)是 y=f(x)图像上任一点,那么 y0=f(x0) f(x)+f(2a－x)=2bf(x0)+f(2a－x0)=2b,即 2b－y0=f(2a－x0)。故点 P'〔2a－x0,2b－y0〕也在 y=f(x)图像上,而点P 与点 P'关于点 A(a,b)对称,充分性得征。推论：函数 y=f(x)的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f(x)+f(－x)=0第 2 页定理 2.函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即 f(x)=f(2a－x)〔证明留给读者〕推论：函数 y=f(x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f(x)=f(－x)定理 3.① 假设函数 y=f(x)图像同时关于点 A(a,c)和点 B(b,c)成中心对称〔ab〕,那么 y=f(x)是周期函数,且 2|a－b|是其一个周期。② 假设函数 y=f(x)图像同时关于直线 x=a 和直线 x=b 成轴对称〔ab〕,那么 y=f(x)是周期函数,且 2|a－b|是其一个周期。③ 假设函数 y=f(x)图像既关于点 A(a,c)成中心对称又关于直线 x=b 成轴对称〔ab〕,那么 y=f(x)是周期函数,且 4|a－b|是其一个周期。①② 的证明留给读者,以下给出③的证明： 函数 y=f(x)图像既关于点 A(a,c)成中心对称,f(x)+f(2a－x)=2c,用 2b－x 代 x 得：f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c〔*〕又 函数 y=f(x)图像直线 x=b 成轴对称,f(2b－x)=f(x)代入〔*〕得：f(x)=2c－f[2(a－b)+x]〔**〕,用 2〔a－b〕－x 代 x 得f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入〔**〕得：f(x)=f[4(a－b)+x],故 y=f(x)是周期函数,且 4|a－b|是其一个周期。二、不同函数对称性的探究第 3 页定理 4.函数 y=f(x)与 y=2b－f(2a－x)的图像关于点 A(a,b)成中心对称。定理 5.① 函数 y=f(x)与 y=f...
