例 1 如图， E、F、G、H 分别是菱形 ABCD各边的中点．求证： E、F、G、H 四点共圆．证明 菱形 ABCD的对角线 AC和 BD相交于点 O，连接 OE、OF、OG、OH． AC和 BD 互相垂直，∴在 Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中，E、F、G、H，分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，即 E、F、G、H 四点共圆．(2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆．例 2 如图，在△ ABC中， AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证： B、E、F、C 四点共圆．证明 DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠ AED＋∠AFD=180° ，即 A、E、D、F 四点共圆，∠AEF=∠ADF．又 AD⊥BC，∠ADF＋∠CDF=90° ，∠CDF＋∠ FCD=90° ，∠ADF=∠FCD．∴∠ AEF=∠FCD，∠BEF＋∠ FCB=180° ，即 B、E、F、C四点共圆．(3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆．证明 在△ ABC中， BD、CE是 AC、AB 边上的高．∴∠ BEC=∠BDC=90° ，且 E、D 在 BC的同侧，∴E、B、C、D 四点共圆．∠AED=∠ACB，∠A=∠A，∴△ AED∽△ACB．上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法，至于证第四点在前三点(不在同一直线上 )所确定的圆上就不叙述了．【例 1】 在圆内接四边形 ABCD中，∠ A-∠C=12° ，且∠ A∶∠B=2∶3．求∠ A、∠B、∠ C、∠D 的度数．解 四边形 ABCD内接于圆，∴∠ A+∠C=180° ． ∠ A-∠C=12° ，∴∠ A=96° ，∠ C=84° ． ∠ A∶∠ B=2∶3，∠D=180° -144° =36° ．利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题．【例 2】已知：如图 1 所示，四边形 ABCD内接于圆， CE∥BD交 AB 的延长线于 E．求证： AD· BE=BC· DC．证明：连结 AC． CE∥BD，∴∠ 1=∠E． ∠ 1 和∠ 2 都是所对的圆周角，∴∠ 1=∠2．∠1=∠E． 四边形 ABCD内接于圆，∴∠ EBC=∠CDA．∴△ ADC∽△CBE．AD∶BC=DC∶BE．AD· BE=BC·DC．本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件，进而得到结论．关于圆内接四边形的性质， 还有一个重要定理． 现在中学课本一般都不列入，现介绍如下：定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．已知：如图 2 所示，四边形 ABCD内接于圆．求证：AC· BD=AB· CD＋AD· BC．证明：作∠ BAE=∠CAD，AE交 ...
