1. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（ 2，0），右顶点为)0,3(（1）求双曲 线 C的方程；（2）若直线2:kxyl与双曲线 C恒有两个不同的交点A 和 B，且2OBOA（其中 O为原点） . 求 k 的取值范围 .解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222byax).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由故双曲线 C的方程为.1322yx（Ⅱ）将得代入13222yxkxy.0926)31(22kxxk由直线 l 与双曲线交于不同的两点得.0)1(36)31(36)26(,0312222kkkk即.13122kk且①设),(),,(BBAAyxByxA，则,22,319,312622BABABABAyyxxOBOAkxxkkxx得由而2)(2)1()2)(2(2BABABABABABAxxkxxkkxkxxxyyxx.1373231262319)1(22222kkkkkkk于是解此不等式得即,01393,213732222kkkk.3312k②由①、②得.1312k故 k 的取值范围为).1,33()33,1(2.. 已知椭圆 C：22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l ：y＝ ex＋a 与 x 轴．y 轴分别交于点A、B，M是直线 l 与椭圆 C的一个公共点， P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设 AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ ＝1－e2；（Ⅱ）确定λ 的值，使得△PF1F2是等腰三角形 .（Ⅰ）证法一：因为A、 B 分别是直线l ：aexy与 x 轴、 y 轴的交点，所以A、 B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(baccbycxbyaxaexyaea这里得由.所以点 M的坐标是（abc2,）. 由).,(),(2aeaabeacABAM得即221eaabeacea解得证法二：因为A、B 分别是直线l ：aexy与 x 轴、 y 轴的交点，所以A、B 的坐标分别是).,0(),0,(aea设 M的坐标是00(,),xy00(,)(, ),aaAMABxyaee由得所以.)1(00ayeax因为点 M在椭圆上，所以,1220220byax即.11)1(,1)()]1([22222222eebaaea所以,0)1()1(2224ee解得.1122ee即（Ⅱ） 解法一： 因为 PF1⊥ l ，所以∠ PF1F2=90° +∠BAF1 为钝角， 要使△ PF1F2 为等腰三角形， 必有 |PF 1|=|F1F2| ，即.||211cPF设点 F1 到 l 的距离为 d，由,1||1|0)(|||21221ceecaeacedPF得.1122eee所以.321,3122ee于是即当,32时 △PF1F2为等腰三角形 .解法二：因为PF1⊥l ，所以∠ PF1F2=90° +∠BAF1为钝角，要使△PF1F2 为等腰三角形，必有|PF 1|=|F1F 2| ，设点 P的坐标是),(00 yx，则0000010.22yxceyxcea，2022023 ,12(1) .1excee aye解得由 |PF 1|=|F1F2| 得,4]1)1(2[]1)3([2222222ceaecece两边同时除以4a2，化简得.1)1(2222eee从而.312e于是32112e即当32时，△ PF1F2为等腰三角形 ....
