基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性） abba②（传递性）,ab bcac③（可加性） abacbc（同向可加性）dbcadcba,（异向可减性）dbcadcba,④（可积性）bcaccba0,bcaccba0,⑤（同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数可除性）0,0ababcdcd⑥（平方法则）0(,1)nnababnNn且⑦（开方法则）0(,1)nnabab nNn且⑧（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式①222abab abR，,（当且仅当 ab 时取 "" 号） . 变形公式：22.2abab②（基本不等式）2abababR，,（当且仅当 ab 时取到等号） . 变形公式：2abab2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等” . ③（三个正数的算术—几何平均不等式）33abcabc ()abcR、 、（当且仅当abc时取到等号） . ④222abcabbcca abR，（当且仅当 abc 时取到等号） . ⑤3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当 abc 时取到等号） . ⑥0,2baabab若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab若则（当仅当 a=b 时取等号）⑦banbnamambab1，（其中000)abmn，，规律：小于1 同加则变大，大于1 同加则变小 . ⑧220;axaxaxaxa当时，或22.xaxaaxa⑨绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式①平均不等式：2211222abababab，,a bR（，当且仅当 ab 时取 ""号） . （即调和平均几何平均算术平均平方平均） . 变形公式：222;22ababab222() .2abab②幂平均不等式：222212121...(...) .nnaaaaaan③二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,,,).xy xyR④二维形式的柯西不等式：22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当 adbc 时，等号成立 . ⑤三维形式的柯西不等式：22222221231231 1223 3()()() .aaabbba ba ba b⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)nnaaabbb21 122(...) .nna ba ba b⑦向量形式的柯西不等式：设,ur ur是两个向量， 则,ur urur ur当且仅当ur是零向量， 或存在实数 k ，使kurur时，等号成立 . ⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...nnaaa bbb 为两组实数.12,,...,nc cc 是12,,...,nb bb 的任一排列，则12111 122......nnnnna ba ba ba ca ca c1 122....nna ba ba b （反序和乱序和顺序和），当且仅当12...naaa 或12...nbbb 时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式 :（特例 :凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数( )fx ,对于...
