核心素养测评六十 圆锥曲线与其他学问的交汇问题 1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),点P在C 上. 世纪金榜导学号 (1)求椭圆C 的方程. (2)若直线l:y=x+m 与椭圆C 相交于A,B 两点,问y 轴上是否存在点M,使得△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点M 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意可得c=1,点P在C 上,所以+=1,又a2=b2+c2=b2+1, 解得a2=4,b2=3,所以椭圆C 的方程为+=1. (2)假设y 轴上存在点M,使△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形, 设A,B,线段AB 的中点为N,由 ,消去y 可得7x2+8mx+4m2-12=0, Δ=64m2-28=48>0, 解得m2<7,所以x1+x2=-,x1x2=, 所以x0==-,y0=x0+m=, 所以N,依题意有AM⊥BM,MN⊥l, 由MN⊥l,可得×1=-1,可得t=-; 由AM⊥BM 可得·=-1, 因为y1=x1+m,y2=x2+m,代入上式化简可得 2x1x2++(m-t)2=0, 则-()2+()2=0,解得m=±, 当m=时,点M满意题意,当m=-时,点M满意题意. 2.如图,已知椭圆C1:+=1(b>0)的左焦点F 与抛物线C2:y2=-2px(p>0)的焦点重合,M 是C1与C2在其次象限内的交点,抛物线的准线与x 轴交于点E,且|ME|= .世纪金榜导学号 (1)求椭圆C1及抛物线C2的方程. (2)过E 作直线l 交椭圆C1于A,B 两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,使得·为定值?若存在,求出点N 的坐标及定值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由两曲线焦点重合,知= , 由椭圆的对称性,知E 为椭圆的右焦点,连接MF, 由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4, 则|MF|=4- = . 设M(xM,yM),过点M 作准线的垂线,垂足为H, 由抛物线的定义知|MF|=|MH|= , 因而yM==,xM=-, 代入+=1 中,得+=1, 与= 联立, 得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为+=1, 抛物线的方程为y2=-4x. (2)由(1)知E(1,0),若直线l 的斜率存在, 设直线方程为y=k(x-1), 由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=,x1·x2=. 假设点N 存在,其坐标为(m,0),其中-2≤m≤2, ·=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)·(x2-m)+k(x1-1)·k(x2-1) =(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2 =(1+k2)-(m+k2)+m2+k2 =. 若·为定值,则满意=, 得m=,定值为-. 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=1, 不妨设其与椭圆+=1 的交点为 A 1,,B 1,-,又N,0 , 则·= - ,· - ,-=-, 综上,在椭圆的长轴上存在点N,0 , 使得·=-,为定值.
