第四节 函数的奇偶性与周期性基础梳理1. 定义 : 一般地 , 设函数 y=f(x) 的定义域为 A ，如果对于意 ,都有 , 则称函数 y=f(x) 为奇函数 ; 如果对于任意 x∈A, 都有 , 则称函数 y=f(x) 为偶函数 .x∈Af(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)2. 图象的对称性质 : 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象 ; 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象 .关于原点对称关于 y 轴对称3. 一般地，对于函数 f(x) ，如果存在一个非零的常数 T ，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 , 那么函数 f(x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期，所有周期中存在最小的一个正数叫做 f(x) 的最小正周期 .f(x+T)=f(x)典例分析题型一 判断函数的奇偶性【例 1 】判断下列函数的奇偶性 .0).x(xx-0),x(xx(4)f(x) ;-2|2-x|)x-lg(1(3)f(x);1-xx-1(2)f(x) ;x-1x11)-(x(1)f(x)222222分析 先求函数的定义域 , 然后判断 f(x) 与 f(-x) 之间的关系 . 解 (1) 由 , 得定义域为 [-1,1), 关于原点不对称 , ∴f(x) 为非奇非偶函数 . ∴f(x) 既是奇函数又是偶函数 .0x-1x1 0f(x)1,x1x1-x0,x-1(2)222f(x),x)x-lg(1-(-x)] (-x)-[1 lg-f(-x).x)x-lg(1-2-2)-(x-)x-lg(1f(x)(0,1),(-1,0)0-2|2-x|0,x-1 (3)2222222222的定义域为由∴f(x) 为偶函数 .(4) 当 x<0 时 ,-x>0, 则 f(-x)= =f(x) ；当 x>0 时 ,-x<0, 则 f(-x)= -f(x).22()()xxxx 22()()xxxx 综上所述 , 对任意的 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 都有 f(-x)=-f(x), ∴f(x) 为奇函数 .学后反思 判断函数的奇偶性是比较基本的问题 , 难度不大 ,解决问题时应先考察函数的定义域 . 若函数的解析式能化简 ,一般应考虑先化简 , 但化简必须是等价变换过程 ( 要保证定义域不变 ).举一反三1. 设函数 f(x) 在 (-∞,+∞) 内有定义，下列函数：① ②③ ④ 必为奇函数的是 。（填写序号 )( ) ;yf x2() ;yx f x()yfx( )()yf xfx解析 设 y=g(x) ，根据奇偶函数的定义判断 ,② ④g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x). 2gxx()fx 2()( );xf xg x答案 ②④ 题型二 奇偶性的应用【例 4 】 定义在 R 上的函数 (a ＞ 0) 为奇函数，求 的值...
