第三节 圆的方程基础梳理1. 圆的标准方程（ 1 ）方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 表示圆心为 , 半径为 r 的圆的标准方程 .（ 2 ）特别地，以原点为圆心，半径为 r(r>0) 的圆的标准方程为 .2. 圆的一般方程方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 可变形为 (x+ )2+(y+ )2= .故有：（ 1 ）当 D2+E2-4F>0 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆 ;2D)2E,2D(2E24FED22(a,b)x2+y2=r244FED223. 点与圆的位置关系对于平面上的任意一点 M(x0,y0) 和一个圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M 与圆 C 的位置关系及判断方法如下：（ 1 ）点 M 在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2＞ r2;(2) 点 M 在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2;(3) 点 M 在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2＜ r2.4. 求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：（ 2 ）当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点 (- ,- ); (3) 当 D2+E2-4F<0 时，方程不表示任何图形 .2D2E典例分析题型一 求圆的方程【例 1 】求过两点 A(1,4) 、 B （ 3 ， 2 ）且圆心在直线 y=0 上的圆的标准方程并判断点 P(2,4) 与圆的关系 .分析 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标与圆的半径的大小 ;而要判断点 P 与圆的位置关系，只需看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系 . 若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内 .（ 1 ）根据题意，选择标准方程或一般方程；（ 2 ）根据条件列出关于 a,b,r 或 D ， E ， F 的方程组；（ 3 ）解出 a ， b ， r 或 D ， E ， F, 代入标准方程或一般方程 .∴ （ 1-a)2+16=r2， a=-1, (3-a)2+4=r2， 解得 r2=20.∴ 所求圆的方程为（ x+1)2+y2=20.方法二：设圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为圆心在 x 轴上，则 =0, 即 E=0. 又圆过 A （ 1,4 ）和 B （ 3,2 ），所以 D+17+F=0, 解得 D=2, 3D+13+F=0, E=0, F=-19.所以圆的方程为 x2+y2+2x-19=0.2E解 方法一：设圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2. 圆心在 y=0 上，∴ b=0,∴ 圆的方程为 (x-a)2+y2=r2.又 该圆过 A(1,4) 、 B(3,2) 两点 ,方法三：因为圆过 A(1,4) 、 B(3,2) 两点，所以圆心 C 必在线段AB 的垂直平分线 l 上 . 又因为 kAB= =-1, 故 l 的斜率为 1.又 AB 的中点为（ 2 ， 3 ），故 AB 的垂直平分线...
