第 2 讲 平面向量的数量积1 ．向量的数量积： a·b ＝ ______________.|a|·|b|cos 〈 a ， b 〉2 ．向量的投影：向量 b 在 a 方向上的投影等于 _____.3 ．向量数量积的坐标表示设 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ，则a·b ＝ __________. 4 ．两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件是：a 与 b 的夹角是锐角⇔ ______ 且 a 与 b 不共线；a 与 b 的夹角是钝角⇔ _______ 且 a 与 b 不共线．x1x2 ＋ y1y2a · b|a|a·b>0a·b<0DD1．已知向量 a＝sinθ，12 的模为 22 ，则 cos2θ 等于( ) A.14 B．－14 C．－12 D.12 2．设向量 a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A．|a|＝|b| B．a·b＝ 2 C．a∥b D．a－b 与 b 垂直 A3．若|a|＝2sin π12，|b|＝2cos π12，a 与 b 的夹角为π6，则 a·b的值为( ) A. 32 B. 3 C．2 3 D.12 4．已知向量 a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，若 a∥b，则 tanα ＝____；若 a⊥b，则 tanα＝______. 解析：a∥b⇔ 3cosα＝4sinα⇒ tanα＝34；a⊥b⇔ 3sinα＋4cosα＝0⇒ tanα＝－43. 5 ．已知向量 a 、 b 满足 |a| ＝ 6 ， |b| ＝ 4 ，且 a 与 b 的夹角为60° ，则 |a ＋ b| ＝ ______ ； |a － 3b| ＝ ______.6 3 2 19 解析：因为|a|＝6，|b|＝4，且 a 与 b 的夹角为 60°，所以 a·b＝|a||b|cosθ＝6·4·12＝12，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝36＋24＋16＝76；(a－3b)2＝a2－6ab＋9b2＝36－72＋144＝108.所以|a＋b|＝2 19，|a－3b|＝6 3. 考点 1 向量的数量积运算例 1：已知OP→ ＝(2,1)，OA→ ＝(1,7)，OB→ (5,1)，点 O 为坐标原点，点 C 是直线 OP 上一点，求CA→·CB→的最小值及取得最小值时cos∠ACB 的值． 解题思路：引入变量，将CA→·CB→表示成所引入变量的函数． 解析：由于点 C 是直线 OP 上一点，设点 C(2m，m)， ∴CA→＝(1－2m,7－m)，CB→＝(5－2m,1－m)， 最值问题一般转化为函数的最值问题，因此解题关键在于寻找变量，此题就是用数量积构造出函数．CA→·CB→＝5(m－2)2－8， ∴m＝2 时，CA→·CB→的最小值为－8； 而 m＝2 时，CA→＝(－3,5)，CB→＝(1，－1)， cos∠ACB＝ CA→·CB→|CA→||CB→|＝－4 1717. 【互动探究】1 ．如图 8 － 2 － 1 ，在边长为 1 的正六边形...
