第三节 等比数列基础梳理1. 等比数列的定义一般地，如果一个数列 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母 q 表示 .2. 等比数列的通项公式一般地，对于等比数列 {an} 的第 n 项 an, 有公式 an= a1qn-1 , 这就是等比数列 {an} 的通项公式，其中 a1 为首项， q 为公比 .3. 等比中项如果 a,G,b 成等比数列 ，那么 G 叫做 a 与 b 的 等比中项 .4. 等比数列的常用性质(1) 通项公式的推广： an=am· qn-m (n,mN*).∈(2) 若 {an} 为等比数列，且 k+l=m+n(k 、 l 、 m 、 nN*),∈则 ak·al= am·an.(3) 若 {an},{bn} （项数相同）是等比数列，则 (bn≠0) 仍是等比数列 . }ba{ },b {a },{a },a1{ },a{nnnn2nnn5. 等比数列的前 n 项和公式等比数列 {an} 的公比为 q(q≠0), 其前 n 项和为 Sn ，当 q=1 时， Sn=na1; 当q≠1 时， Sn= a1+a1q+…+a1qn-1 ，即 q-1qa-aSq-1)q-(1aSn1nn1n或6. 等比数列前 n 项和的性质等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列 .题型一 等比数列的基本运算【例 1 】设等比数列 {an} 的公比为 q(q ＞ 0) ，它的前 n 项和为 40, 前 2n 项和为 3 280, 且前 n 项中数值最大项为 27, 求数列的第 2n 项 .分析 利用前 n 项和公式列出关于 a1 与 q 的方程组，求出 a1 与 q 即可，但是需注意的是应分 q=1 和 q≠1 两种情况讨论 .解若 q=1 ，则 na1=40,2na1=3 280 ，矛盾 . 280 3q-1)q-(1a40q-1)q-(1a1,q2n1n1 得 1+qn=82, q∴n=81.③将③代入①，得 q=1+2a1.④又 q ＞ 0,qn=81, q∴ ＞ 1,{an} 为递增数列 .∴an=a1qn-1=27.⑤由③、④、⑤得 q=3,a1=1,n=4.∴a2n=a8=1×37=2 187. 学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前 n 项和公式建立方程 ( 组 ) ，解之即可，同时利用前 n 项和公式时需对 q 进行讨论 .①②①③解析 : a9+a10=a,∴a9(1+q)=a,①又 a19+a20=b, a∴19(1+q)=b,②由 得则 a99(1+q)=x,③由 得答案 : ①②x,aa,abq1009910设 ab)ab(ax, xq89990a89ab举一反三1.(2009· 潍坊模拟 ) 在等比数列 { } 中 , (a≠0), ...
