第五单元 基本初等函数Ⅱ知识体系 第八节 正、余弦定理的应用基础梳理1. 解三角形一般地，把三角形三个角 A ， B ， C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 .2. 解三角形的类型（ 1 ）已知三边求三角，用 余弦 定理；（ 2 ）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角， 用 余弦 定理；（ 3 ）已知两角和任一边，求其他两边和一角，用 正弦 定理；（ 4 ）已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用 正弦 定理 . 题型一 三角形与立体几何的综合问题【例 1 】如图，某人在高出海面 300 m 的山上 P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为 30° ，航标 B 在南偏东 60°, 俯角为 45° ，求这两个航标间的距离 .分析 将问题转化为立体几何问题，然后利用三角形知识求解 .解由题意得∠ PBC=45°, PAC=30°, ACB=30°,PC=300∠∠，在 Rt PCB△中， BC=PC=300.在 Rt PCA△中，在△ ABC 中 , 由余弦定理 , 得典例分析.3300PC3AC AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ACB∠∴AB=300(m).学后反思本题涉及到测量的俯角、方向角等概念，在解题时应结合实际情况正确理解，并要作出合理转化 .,3002330033002-300)3(300222举一反三1. 某人在山顶观察地面上相距 300 m 的 A 与 B 两个目标，测得目标 B 在南偏东 5° ，俯角 45° ，同时测得 A 在南偏东 35° ，俯角 30°,求山高（设 A 、 B 与山底在同一平面上） . 解析 :画图，设山高 MC=x, 由题意可得∠ MBC=45°, MAC=30°, ACB=∠∠30°.在 Rt MCB△中， BC=MC=x,在 Rt MCA△中，在△ ABC 中，由余弦定理 , 得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ACB,即∴x=300. 即山高为 300 m.x.3MC3AC,2332-3300222xxxx 题型二 构造三角形模型解应用题 【例 2 】 (14 分 ) 一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由点 A 开始做匀速直线运动，到达点 B 时，发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 做匀速直线滚动 . 如图所示，已知 dm,AD=17 dm, BAC=45°.∠若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？24AB 分析“ 最快截住”是指“机器人从点 B 沿直线运动时和足球在直线 AD 上的点 C 处相遇”，此时 CD=2BC ，将问题归结到△ ABC 中，用余弦定理解决 . ...
