第二节 等差数列 • 1 ．等差数列的相关问题• (1) 等差数列的定义• 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的．同一个常数公差2 • (2) 等差中项• 在一个等差数列中，从第 2 项起每一项 ( 有穷数列最后一项除外 ) 都是它前一项与后一项的等差中项，即 2an＝•(n∈N且 n≥2) ．an － 1 ＋ an ＋ 1 • 三数成等差数列时，一般设为 a － d ， a ，a ＋ d ；四数成等差数列呢？• 【提示】 设为 a － d ， a ， a ＋ d ， a ＋2d 或 a － 3d ， a － d ， a ＋ d ， a ＋ 3d. • (3) 等差数列的单调性• 当 d ＞ 0 时， {an} 是数列．• 当 d ＝ 0 时， {an} 是．• 当 d ＜ 0 时， {an} 是 数列．递增常数列递减 •2 ．等差数列的通项公式及其前 n 项和 Sn•(1) 等差数列的前 n 项和 Sn是用 求得的．注意这种思想方法在数列求和中的应用．•(2) 等差数列的通项公式 an＝ 及前 n 项和公式 Sn＝ ＝ ，共涉及五个量 a1， an， d ， n ， Sn，知其三就能求另二．倒序相加法a1 ＋ (n － 1)d (1)因为Snn ＝d2n＋a1－d2，故数列Snn 是等差数列． (2)从函数观点看 Sn，当 d≠0 时，Sn 是关于 n 的且常数项为 0 的二次函数，则(n，Sn)是二次函数图象上的一群孤立的点，由此可得：当 d＞0 时，Sn 有最小值；当 d＜0 时，Sn 有最大值． (3)在求等差数列的前 n 项和时，若已知首项 a1 及末项an，可选用公式 Sn＝n(a1＋an)2；若已知首项 a1 及公差 d，可选用公式 Sn＝na1＋n(n－1)d2. • 等差数列的常用性质• 已知数列 {an} 是等差数列， Sn是其前 n 项和．• (1) 通项公式的推广：• an＝ am＋ (n － m)d (n 、 m∈N) ．• (2) 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am＋ an＝ ap＋ aq，• 特别：若 m ＋ n ＝ 2p ，则 am＋ an＝ 2ap. • (3)am， am ＋ k， am ＋ 2k， am ＋ 3k，…仍是等差数列，公差为 kd.• (4) 数列 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m，…也是等差数列．• (5)S2n － 1＝ (2n － 1)an.• (6) 数列 {c·an} ， {c ＋ an} ， {pan＋ qbn} 也是等差数列，其中 c 、 p 、 q 均为常数， {bn} 是等差数列． •...
