(江苏专用)高考数学二轮复习 专题七 随机变量、空间向量 第二讲 运用空间向量求角课件 理 课件VIP专享VIP免费

运用空间向量求角二讲第运用空间向量求两直线所成的角题型 ( 一 )主要考查用直线的方向向量求异面直线所成的角. [典例感悟] [例1] (2019·南京盐城一模)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝ 2，点E是棱PB的中点．­(1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值；­(2)求二面角B­EC­D的余弦值．­ [解] (1)因为PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直， 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，又PA＝AB＝2，AD＝1，所以B(2 ，0，0)，C(2 ，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，因为E是棱PB的中点，所以E22 ，0， 22 ，所以 EC― → ＝22 ，1，－ 22 ， PD― → ＝(0，1，－ 2)， 所以cos〈 EC― → ， PD― → 〉＝1＋112＋1＋12× 1＋2＝ 63 ， 所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为 63 . (2)由(1)得 EC― → ＝22 ，1，－ 22 ，BC― → ＝(0，1，0)，DC― → ＝( 2，0，0)． 设平面 BEC 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)， 则n1· EC― → ＝0，n1· BC― → ＝0，所以 22 x1＋y1－ 22 z1＝0，y1＝0， 得 y1＝0，令 x1＝1，则 z1＝1， 所以平面 BEC 的一个法向量为 n1＝(1，0，1)． 设平面 DEC 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)． 则n2· EC― → ＝0，n2· DC― → ＝0，所以 22 x2＋y2－ 22 z2＝0，2x2＝0， 得 x2＝0，令 z2＝ 2，则 y2＝1， 所以平面 DEC 的一个法向量为 n2＝(0，1， 2)． 所以 cos〈n1，n2〉＝21＋1× 1＋2＝ 33 . 由图可知二面角 B­EC­D 为钝二面角， 所以二面角 B­EC­D 的余弦值为－ 33 . [方法技巧] 1．两条异面直线所成角的求法­设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cos­φ＝|cos­ θ|＝|a·b||a||b|其中φ为异面直线a，b所成的角φ∈0，π2.­2．用向量法求异面直线所成角的四步骤­(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；­(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；­(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；­(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．­[演练冲关] (2019·苏北三市一模)如图，在三棱锥D­ABC中，DA⊥平面A...