热点专题解读第二部分 专题三 与直角三角形相关的探究及应用2• 题型一 与直角三角形相关的探究常考题型 · 精讲例 1 小明在某次作业中得到如下结果：sin27° ＋ sin283°≈0.122 ＋ 0.992 ＝ 0.994 5 ，sin222° ＋ sin268°≈0.372 ＋ 0.932 ＝ 1.001 8 ，sin229° ＋ sin261°≈0.482 ＋ 0.872 ＝ 0.987 3 ，sin237° ＋ sin253°≈0.602 ＋ 0.802 ＝ 1.000 0 ，3sin245°＋sin245°＝( 22 )2＋( 22 )2＝1. 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1. (1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立； (2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例． • ☞ 思路点拨• 设∠ A ＝ α ，则∠ B ＝ 90° － α ，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．• 将 α ＝ 30° 代入，根据三角函数值计算可得．4【解答】(1)成立，当α＝30°时，sin2α＋sin2(90－α)＝sin230°＋sin260°＝( 12 )2＋( 32 )2＝14＋34＝1. (2)小明的猜想成立，证明如下： 如答图，在△ABC中，∠C＝90°， 设∠A＝α，则∠B＝90°－α ∴sin2α＋sin2(90°－α)＝(BCAB)2＋(ACAB)2 ＝BC2＋AC2AB2＝AB2AB2＝1. 5• 题型二 与直角三角形相关的应用• 类型 1 构建母子型测量 例 2 小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在 C处且与地面成 60°角，小明拿起绳子末端，后退至 E 处，拉直绳子，此时绳子末端 D 距离地面 1.6 m 且绳子与水平方向成 45°角．求旗杆 AB 的高度．(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73，结果精确到 0.1 m) 6• ☞ 解题步骤• 第一步：设绳子 AC 的长为 x m ，由三角函数得出 AB ；• 第二步：过点 D 作 DF⊥AB 于点 F ；• 第三步：根据△ ADF 是等腰直角三角形，得出方程，解方程即可．7• 【解答】设绳子 AC 的长为 x m ，• 在 Rt△ABC 中， AB ＝ AC·sin60°.• 如答图，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F.• ∠ADF ＝ 45° ，• ∴△ADF 是等腰直角三角形，• ∴AF ＝ DF ＝ x·sin45°.• AB － AF ＝ BF ＝ 1.6 ，• ∴x·sin60° － x·sin45° ＝ 1.6 ，• 解得 x ＝ 10 ，• ∴AB ＝ 10×sin60°≈8.7 m.• 答：旗杆 AB 的高度约为 8.7 ...
