第 二 节基本不等式 重点难点 重点：基本不等式的理解与运用． 难点：应用基本不等式解决实际问题时条件的把握． 知识归纳 1．基本不等式：对任意 a、b∈____，有a＋b2 ≥ ab成立，当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y时，x＋y 有最___值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时，xy 有最____值S24 . R＋ 小 大 2．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；ab≤a2＋b22(a、b∈R) a2＋b2____a＋b22(a、b∈R)；ab____a＋b22(a、b∈R) a＋b22____a2＋b22(a、b∈R)，以上各等号在 a＝b 时成立． ≥ ≤ ≤ (2)ab＋ba≥2(a、b 同号)，特别地1a＋a≥2(a>0)，1a＋a≤－2(a<0)． a2＋b22≥a＋b2 ≥ ab≥ 21a＋1b(a、b∈R＋)． 3．含绝对值的不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|， 4.a＋mb＋m>ab(b>a>0，m>0) 误区警示 在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等． 多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性． 解题技巧 1．证明不等式常用的方法： 比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利用几何意义)． 2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．②必须指出等号成立的条件． 3．“恒成立”问题的解法 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用中一类常见的题型，蕴涵着转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等丰富的数学思想方法，处理不等式恒成立问题的基本思路是转化为求函数的最值或函数值域的问题． [例 1] (文)(2010·江苏南京)已知 b>a>0，且 a＋b＝1，那么( ) A．2ab
a>0，a＋b＝1，∴b>12，∴2ab<a＋b22＝a＋b2，且 a2＋ b2>a＋b22＝12 . ∴a4－b4a－b ＝ (a＋ b)(a2＋b2)>a＋b2.又a4－b4a－b －b...
