第 2 讲 数列求和及综合应用要点知识整合1．等差、等比数列的求和公式 (1)等差数列前 n 项和公式： Sn＝na1＋nn－12·d ＝na1＋an2. (2)等比数列前 n 项和公式： ①q＝1 时，Sn＝na1； ②q≠1 时，Sn＝a11－qn1－q. 2 ．数列求和的方法技巧(1) 转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2) 错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 {an·bn} 的前 n 项和，其中{an} ， {bn} 分别是等差数列和等比数列．(3) 倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列 ( 反序 ) ，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4) 裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．3 ．数列的应用题(1) 应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2) 数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型 {an} ，利用该数列的通项公式、递推公式或前 n 项和公式．题型一题型一裂项相消求和热点突破探究典例精析典例精析例例 11 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1＝ 1 ， Sn ＝ nan － n(n － 1)(n ＝ 1,2,3 ，… ) ．(1) 求证：数列 {an} 为等差数列，并写出 an 关于n 的表达式；2)若数列{1anan＋1}的前 n 项和为 Tn，问满足 Tn>100209的最小正整数 n 是多少？ 【解】 (1) 证明：当 n≥2 时， an ＝ Sn － Sn － 1 ＝nan － (n － 1)an － 1 － 2(n － 1) ，得 an － an － 1 ＝ 2(n＝ 2,3,4 ，… ) ．所以数列 {an} 是以 a1 ＝ 1 为首项， 2 为公差的等差数列．所以 an ＝ 2n － 1.(2)Tn＝ 1a1a2＋ 1a2a3＋…＋1an－1an＋1anan＋1 ＝ 11×3＋ 13×5＋ 15×7＋…＋12n－12n＋1 ＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n－...
