第二节 证明不等式的基本方法 目标定位 学习指向通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法 .1. 以一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等知识为背景考查不等式的常用证明方法．2. 与数列等知识综合考查不等式的证明方法 .一、比较法 1．作差比较法 (1)理论依据：a＞b⇔ ； a＜b⇔ . (2)证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论． a － b ＞ 0a － b ＜ 02．作商比较法 (1)理论依据：b＞0，ab＞1⇒ ； b＜0，ab＞1⇒ a＜b. (2)证明步骤：作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论． a ＞ b 1．已知 M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，则 M，N 的大小关系为( ) A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 解析： (a2＋b2)－(ab＋a＋b－1) ＝a2＋b2－ab－a－b＋1 ＝12(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2) ＝12[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)] ＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， ∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1，∴M≥N. 故应选 C. 答案：C 二、综合法 (1)定义：从 出发，利用 、 、 、 等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫 或由 ． (2)思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个(组)已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式． 已知条件 定义公理定理性质顺推证法因导果法2．若 a，b，c∈R，则 a2＋b2＋c2________ab＋bc＋ac.(用“≥”、“≤”、“＞”或“＜”填空) 解析：a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac， 以上三式相加得： 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. 答案：≥ 3．设 P＝ 2，Q＝ 7－ 3，R＝ 6－ 2，则 P、Q、R 的大小顺序是( ) A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P 解析： 2＋ 2＝2 2＞ 6， ∴ 2＞ 6－ 2，即 P＞R； 又 6＋ 3＞ 7＋ 2， ∴ 6－ 2＞ 7－ 3，即 R＞Q； 故有 P＞R＞Q.故应选 B. 答案：B 三、分析法 (1)定义：从 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为 或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法． (2)思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止． 要证的结...
