曲边梯形的面积VIP专享VIP免费

微积分在几何上有两个基本问题1. 如何确定曲线上一点处切线的斜率；2. 如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。xy0xy0xyo直线几条线段连成的折线曲线？1.5.1 曲边梯形的面积直线 x0 、 x1 、 y0 及曲线 yx2 所围成的图形（曲边三角形）面积 S 是多少？x yO1方案 1方案 2方案 3为了计算曲边三角形的面积 S ，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲” 。 y = f(x)bax yO A1 A1 A1A  A1.用一个矩形的面积 A1 近似代替曲边梯形的面积 A ， 得A  A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积 A ， 得 y = f(x)bax yOA1A2A  A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积 A ， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA  A1+ A2 +    + An 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积 A 近似为A1AiAn分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S 。下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程（ 1 ）分割把区间 [0 ， 1] 等分成 n 个小区间：],nn,n1n[,],ni,n1i[,],n2,n1[],n1,0[n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作 x 轴的垂线，从而得到 n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作.S,,S,,S,Sni21（ 2 ） 近似代换n1)n1i(x)n1i(fS2i（ 3 ）求和)211)(11(316)12()1(n1])1n(210[n1 n1)n1-i(n1)n1-if( SSSSS322223n1i2n1in1iin21nnnnn（ 4 ）取极限。面积为，即所求曲边三角形的所以，从而趋向时，亦即当分割无限变细，即3131S31)211)(11(31lim)1(1limlimS)211)(11(31)n(0xn1nnnnnifnSSnnSninn分割近似代换求和取极限分割，求和，取极限 当分点非常多（ n 非常大）时，可以认为 f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点 xi 对应的函数值 f(xi) 作为小矩形一边的长，于是 f(xi) x△来近似表示小曲边梯形的面积x)f(xx)f(xx)x(fn21表示了曲边梯形面积的近似值演示 ...