3.1.2 《导数的几何意义》 先来复习导数的概念 定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处及其附近有定义 , 当自变量 x 在点 x0 处有改变量 Δx 时函数有相应的改变量 Δy=f(x0+ Δx)- f(x0). 如果当 Δx0 时 ,Δy/Δx 的极限存在 , 这个极限就叫做函数 f(x) 在点 x0 处的导数 ( 或变化率 ) 记作 即 :,|)(00xxyxf或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 瞬时速度就是位移函数 s(t) 对时间 t 的导数 . 是函数 f(x) 在以 x0 与 x0+Δx 为端点的区间 [x0,x0+Δx]( 或 [x0+Δx,x0]) 上的平均变化率 , 而导数则是函数 f(x) 在点 x0 处的变化率 , 它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度． xxfxxfxy)()(00 如果函数 y=f(x) 在点 x=x0 存在导数 , 就说函数y=f(x) 在点 x0 处可导 , 如果极限不存在 , 就说函数 f(x) 在点 x0 处不可导 .0000( )()()limxxf xf xfxxx思考一下，导数可以用下式表示吗？ 由导数的意义可知 , 求函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数的基本方法是 :00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意 : 这里的增量不是一般意义上的增量 , 它可正也可负 . 自变量的增量 Δx 的形式是多样的 , 但不论 Δx 选择 哪种形式 , Δy 也必须选择与之相对应的形式 . 下面来看导数的几何意义 : βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy 如图 , 曲线 C 是函数y=f(x)的图象 ,P(x0,y0) 是曲线 C 上的任意一点 ,Q(x0+Δx,y0+Δy)为 P 邻近一点 ,PQ 为 C 的割线 ,PM//x 轴 ,QM//y 轴 ,β 为 PQ的倾斜角 ..tan,,:xyyMQxMP则yx请问： 是割线PQ的什么?斜率 ! PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点 Q 沿着曲线逐渐向点 P 接近时 , 割线 PQ 绕着点 P 逐渐转动的情况 . 我们发现 , 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P 即Δx→0 时 , 割线 PQ 有一个极限位置 PT. 则我们把直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线 . 设切线的倾斜角为 α, 那么当 Δx→0 时 , 割线 PQ 的斜率 , 称为曲线在点 P 处的切线的斜率 .即 :'00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线 这个概念...
