课时跟踪训练(二十三) 直线的方向向量与平面的法向量1．若直线 l⊥平面 α，且 l 的方向向量为(m,2,4)，平面 α 的法向量为，则 m 为________．2．设 A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件 AM�·n＝0 的点 M 的轨迹是________．3．设直线 l1的方向向量为 a＝(2，－1,2)，直线 l2的方向向量为 b＝(1,1，m)，若 l1⊥l2，则 m＝________.4．在空间中，已知平面 α 过点 A(3,0,0)和 B(0,4,0)及 z 轴上一点 C(0,0，a)(a>0)，如果平面 α 与平面 xOy 的夹角为 45°，则 a＝________.5．已知 a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1、l2的方向向量，若 l1∥l2，则 x＝________，y＝________.6．已知 A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)，(1)写出直线 BC 的一个方向向量；(2)设平面 α 经过点 A，且 BC�是 α 的法向量，M(x，y，z)是平面 α 内任一点，试写出x、y、z 满足的关系式．7．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，(1)求平面 ABCD 的一个法向量；(2)求平面 A1BC1的一个法向量；(3)若 M 为 CD 的中点，求平面 AMD1的一个法向量．8.如图，已知 ABCD－A1B1C1D1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示．AB＝3，BC＝4，AA1＝2.(1)求平面 B1CD1的一个法向量；(2)设 M(x，y，z)是平面 B1CD1内的任意一点，求 x，y，z 满足的关系式．答 案1．解析： l 的方向向量与平面 α 的法向量平行．∴＝＝.∴m＝1.1答案：12．解析： AM�·n＝0 称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．答案：过点 A 且与向量 n 垂直的平面3．解析： l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0.∴m＝－.答案：－4．解析：平面 xOy 的法向量为 n＝(0,0,1)，AB�＝(－3,4,0)，AC�＝(－3,0，a)，设平面 α 的法向量为 u＝(x，y，z)，则则 3x＝4y＝az，取 z＝1，则 u＝，故 cos〈n，u〉＝＝.又 a>0，∴a＝.答案：5．解析：由 l1∥l2，得＝＝，解得 x＝12，y＝9.答案：12 96．解：(1) B(2,0,0)，C(0,2，－2)，∴ BC�＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线 BC 的一个方向向量．(2)由题意 AM�＝(x－2，y－2，z－2)， BC�⊥平面 α，AM⊂α，∴ BC�⊥ AM�.∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化简得 x－y＋z－2＝0.7.解：以 A 为坐标原点，分别以 AB�，AD�，1AA�所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱...
