第二讲 不等式选讲1．设函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a>0.(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥3x＋2；(2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值．解析：(1)a＝1 时，f(x)≥3x＋2，即|x－1|≥2，解得 x≥3 成 x≤－1.故不等式的解集是.(2)由 f(x)≤0 得|x－a|＋3x≤0，此不等式化为不等式组或，即或.因为 a>0，所以不等式的解集为{x|x≤－}，由题意得－＝－1，故 a＝2.2．(2019·浉河区校级月考)已知 a>0，b>0，＋＝2.求证：(1)a＋b≤2；(2)2≤a2＋b2<16.证明：(1) a>0，b>0，＋＝2，∴2≥2>0，当且仅当 a＝b＝1 时取等号，∴0<≤1，∴a＋b＝(＋)＝2≤2.(2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，∴a＋b＝(＋)2－2＝4－2，∴a2＋b2＝16－16＋4ab－2ab＝2ab－16＋16＝2(ab－8＋16)－16＝2(－4)2－16＝2(4－)2－16， 0<≤1，∴3≤4－<4，∴9≤(4－)2<16，∴2≤2(4－)2－16<16，故 2≤a2＋b2<16.3．(2019·烟台一模)已知函数 f(x)＝|2x－1|－m|x＋2|.(1)当 m＝1 时，求不等式 f(x)≥2 的解集；(2)若存在实数 m 使得不等式 f(x－2)>m 在 x∈[－1,1]恒成立，求 m 的取值范围．解析：(1)当 m＝1 时，|2x－1|－|x＋2|≥2，当 x≤－2 时，原不等式转化为 1－2x＋x＋2≥2，解得 x≤－2；当－2时，原不等式转化为 2x－1－x－2≥2，解得 x≥5；综上，不等式的解集为{x|x≤－1 或 x≥5}．(2)由已知得：f(x－2)＝|2x－5|－m|x|>m，即 m<.设 g(x)＝，x∈[－1,1]，由题意m.综上可得，不等式的解集为.(2)若对任意的 t∈R，s∈R，都有 g(s)≥f(t)，可得 g(x)min≥f(x)max. 函数 f(x)＝|2x＋1|－|2x－3|≤|2x＋1－(2x－3)|＝4，∴f(x)max＝4. g(x)＝|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－(x－a)|＝|a＋1|，故 g(x)min＝|a＋1|.∴|a＋1|≥4，解得 a≥3 或 a≤－5.故 a 的取...
