第 3 讲 分类讨论、转化与化归思想一、分类讨论思想分类讨论的原则分类讨论的常见类型1.不重不漏2.标准要统一，层次要分明3.能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论1.由数学概念而引起的分类讨论2.由数学运算要求而引起的分类讨论3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论4.由图形的不确定性而引起的分类讨论5.由参数的变化而引起的分类讨论分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略应用一 由概念、法则、公式引起的分类讨论[典型例题] 设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和 Sn>0(n＝1，2，3，…)，则 q 的取值范围是________．【解析】 由{an}是等比数列，Sn>0，可得 a1＝S1>0，q≠0，当 q＝1 时，Sn＝na1>0.当 q≠1 时，Sn＝>0，即>0(n＝1，2，3，…)，则有①或②由①得－1
1.故 q 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．【答案】 (－1，0)∪(0，＋∞)本题易忽略对 q＝1 的讨论，而直接由>0，得 q 的范围，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前 n 项和公式的使用就要分 q＝1，Sn＝na1和 q≠1，Sn＝进行讨论． [对点训练]1．一条直线过点(5，2)，且在 x 轴，y 轴上的截距相等，则这条直线的方程为( )A．x＋y－7＝0B．2x－5y＝0C．x＋y－7＝0 或 2x－5y＝0D．x＋y＋7＝0 或 2y－5x＝0解析：选 C.设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a，当 a＝0 时，直线过原点，此时直线方程为 y＝x，即 2x－5y＝0；当 a≠0 时，设直线方程为＋＝1，则求得 a＝7，直线方程为 x＋y－7＝0.2．若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则 a＝________．解析：若 a>1，则 a2＝4，a－1＝m，故 a＝2，m＝，此时 g(x)＝－，为减函数，不合题意；若 00，函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝－ln a，若 x∈(－∞，－ln a)，则 f′(x)>0；若 x∈(－ln a，＋∞)，则 ...
