3.1.4 空间向量的直角坐标运算课后导练基础达标1.在空间直角坐标系 O-xyz 中，已知点 A 的坐标为(-1，2，1)，点 B 的坐标为(1，3，4)，则( )A.AB=(-1，2，1) B.AB=(1，3，4)C.AB=(2，1，3) D.AB=(-2，-1，-3)答案：C2.若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)是两个非零向量，则 a∥b 的充要条件是（ ）A.332211bababa B.||||bbaa C.存在实数 k，使得 a+kb=0 D.存在非零实数 k，使 a=kb答案：D3.已知 a=(1,23, 25 ),b=(-3,λ,-1 25 )满足 a∥b,则 λ 等于（ ）A. 32 B. 29 C.29 D.32答案：B4.已知 a=(1,0,1),b=(-2,-1,1)，c=(3,1,0)，则|a-b+2c|等于（ ）A.3 10 B.2 10 C. 10 D.5答案：A5.若 a=(1,5,-2)，b=(3,x,3)，且 a⊥b,则 x=_________________.答案： 536.已知向量 a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),c=(3,0,2)，则 a-2b+4c=________________.答案：(19,-10,9)7.已知点 A（3，8，-5），B（-2，0，8）,则|AB|=____________________.答案：2588.判断下列各小题中的两个向量是否平行：（1）a=(1,3,-2),b=(-2,-6,4);(2)a=(-2,0,5),b=(8,0,20).解析:(1)∵a=- 21 b,∴a∥b.(2)不存在实数 k,使得 a=kb,∴a 与 b 不平行.9.设 a=(2,2m-3,n+2),b=(4,2m+1,3n-2),且 a∥b,求实数 m,n 的值.1解析:∵a∥b,设 a=λb.则)3(.)23(2)2(,)12(32)1(,42nnmm① 得 λ= 21 ,代入②得 m= 27 ,代入③得 n=6,∴m= 27 ,n=6.综合运用10.已知 A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4）那么△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.A、B、C 三点共线答案：A11.已知 a=(2,cosθ,sinθ)，b=(sinθ,2,cosθ)，则 a+b 与 a-b 的夹角为（ ）A.30° B.45° C.60° D.90°答案：D12.已知 a=(-1,0,1)，b=(1,2,3)，若 ka-b 与 b 垂直，则 k=_________________.答案：713.已知 A、B、C 三点的坐标各是（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3）.求 P 点的坐标使(1))(21ACABOP;(2) )(21ACABAP.解析:先求出 AB、 AC，然后利用运算性质很快便可得结果.AB=(2,6,-3), AC=(-4,3,1).(1)OP = 21 (6,3,-4)=(3, 23 ,-2)，则 P 点坐标为（3， 23 ，-2）；(2)设 P 为（x,y,z），则AP=（x-2,y+1,z-2）,又 21 (ACAB )= AP=(3, 23 ,-2).∴x=5,y= 21 ,z=0，则 P 点坐标为（5， 21 ，0）.拓展研究14.已知关于 x 的方程 x2-(t-2)x+t2+3t+5=0 有两个实根;a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.(1)当|c|取最小值时,求 t 的值;2(2)在(1)的情况下,求 b 和 c 的夹角大小.解析:(1)∵关于 x 的方程 x2-(t-2)x+t2+3t+5=0 有两个实根.∴Δ=(t-2)2-4(t2+3t+5)≥0,即-4≤t≤- 34 ,又 c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),∴|c|=22)23(1)1(tt=.56)57(52 t∵t∈［-4,- 34 ］时，上述关于 t 的函数单调递减,∴t=34时，|c|取最小值3347 .（2）当 t=34时，c=(37,1, 317 ),∴cos〈b,c〉=||||cbcb=22222)317(1)37()2(01334037=173541=1735173541.∴〈b,c〉=π-arccos1735173541=arccos1735173541即为 b 与 c 的夹角.3
