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2018 高考数学异构异模复习考案 第三章 导数及其应用 3.2.1 函数的单调性与导数撬题 理1．设函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a<1，若存在唯一的整数 x0使得 f(x0)<0，则a 的取值范围是( )A. B.C. D.答案 D解析 由题意可知存在唯一的整数 x0，使得 ex0(2x0－1)0 时，xf′(x)－f(x)<0，则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)答案 A解析 令 F(x)＝，因为 f(x)为奇函数，所以 F(x)为偶函数，由于 F′(x)＝，当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，所以 F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝在(－∞，0)上单调递增，又 f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选 A.3．若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )A．f< B．f>C．f< D．f>答案 C解析 构造函数 g(x)＝f(x)－kx＋1，则 g′(x)＝f′(x)－k>0，∴g(x)在 R 上为增函数． k>1，∴>0，则 g>g(0)．而 g(0)＝f(0)＋1＝0，∴g＝f－＋1>0，即 f>－1＝，所以选项 C 错误，故选 C.4．已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0>0，则 a 的取值范围是( )A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)答案 C解析 (1)当 a＝0 时，显然 f(x)有两个零点，不符合题意．(2)当 a≠0 时，f′(x)＝3ax2－6x，令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝.当 a>0 时，>0，所以函数 f(x)＝ax3－3x2＋1 在(－∞，0)与上为增函数，在上为减函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x0>0，则 f(0)<0，即 1<0，不成立．当 a<0 时，<0，所以函数 f(x)＝ax3－3x2＋1 在和(0，＋∞)上为减函数，在上为增函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x0>0，则 f>0，即 a·－3·＋1>0，解得 a>2 或 a<－2，又因为 a<0，故 a 的取值范围为(－∞，－2)．选 C.5．已知函数 f(x)＝－2(x＋a)ln x＋x2－2ax－2a2＋a，其中 a>0.(1)设 g(x)是 f(x)的...
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