高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式例题与探究 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式典题精讲【例 1】 已知 x∈R+，求函数 y=x(1-x2)的最大值.思路分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即 y2=x2(1-x2)2=x2(1-x2)(1-x2)=2x2(1-x2)(1-x2)× 21 .最先求出最值后再开方.解： y=x(1-x2),∴y2=x2(1-x2）2=2x2(1-x2)(1-x2)· 21 . 2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,∴y2≤274)3112(21222xxx.当且仅当 2x2=1-x2=1-x2,即 x=33 时取“=”号.∴y≤932.∴y 的最大值为932. 黑色陷阱：拼凑数学结构，以便能利用均值不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y=x(1-x2)=x(1-x)(1+x)= 21 ·x(2-2x)(1+x)≤）（312221xxx3= 21 . 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“=”号的条件，显然 x=2-2x=1+x 无解，即无法取“=”号，也就是说，这种拼凑法是不对的.这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时注意均值不等式的使用条件，三个缺一不可.【变式训练 1】 θ 为锐角，求 y=sinθ·cos2θ 的最大值.思路分析： 本题的目标函数为积结构，故应创设各因子的和为定值 .要特别注意sin2θ+cos2θ=1 的应用.解：y2=sin2θ·cos2θ·cos2θ= 21 ·2sin2θ(1-sin2θ)(1-sin2θ)≤ 21 ( 32 )3= 274 . 当且仅当 2sin2θ=1-sin2θ,即 sinθ=33 时取等号.此时 ymax=932.【变式训练 2】 已知 x∈R+，求函数 y=x2(1-x)的最大值.思路分析：本题积结构中 x2=x·x,所以 y=x2(1-x)=x×x(1-x),为使“和”为定值，还需拼凑系数.1解：y=x2(1-x)=x·x(1-x)=x·x·(2-2x)× 21≤27427821)322(213xxx.当且仅当 x=2-2x,即 x= 32 时取等号.此时,ymax= 274 .【例 2】 已知 n 是大于 1 的自然数，求证：2n>1+12 nn.思路分析：2n>1+12 nn等价于 2n-1>12 nn①根据等比数列的前 n 项和公式逆向联想到2n-1=212211n=1+2+22+…+2n-1.即①式也可表示为 n 个不同的数 1，2，22，…，2n-1之积，因此自然联想到；如果12 n正好等于这几个正数之积的 n 次算术根，则①即可由均值不等式证得.证明： 2n-1=1+2+22+…+2n-1>11222221nnnnn,∴2n>1+12 nn. 绿色通道：在使用均值不等式的题目中，尤其对于 n 个正数的均值不等式，能够分析或观察到是 n 个正数的均不等式问题是解答的关键，这也需要对提供的条件代...