高考数学大二轮复习 课时作业15 圆锥曲线的综合问题 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

课时作业 15 圆锥曲线的综合问题1．[2019·河北邢台模拟]已知椭圆＋y2＝1 上两个不同的点 A，B 关于直线 y＝mx＋对称．(1)求实数 m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解析：(1)由题意知 m≠0，可设直线 AB 的方程为 y＝－x＋n.由消去 y，得 x2－x＋n2－1＝0.因为直线 y＝－x＋n 与椭圆＋y2＝1 有两个不同的交点，所以 Δ＝－2n2＋2＋>0，①将 AB 的中点 M 的坐标代入 y＝mx＋，解得 n＝－，②由①②得 m<－或 m>.故 m 的取值范围是∪.(2)令 t＝∈∪，则 t2∈.|AB|＝×，点 O 到直线 AB 的距离 d＝.设△AOB 的面积为 S(t)，则 S(t)＝|AB|·d＝ ≤，当且仅当 t2＝时，等号成立，此时满足 t2∈.故△AOB 面积的最大值为.2．[2019·上海静安区模拟]设 m>0，椭圆 Γ：＋＝1 与双曲线 C：m2x2－y2＝m2的焦点相同．(1)求椭圆 Γ 与双曲线 C 的方程；(2)过双曲线 C 的右顶点作两条斜率分别为 k1，k2 的直线 l1，l2，分别交双曲线 C 于点P，Q(P，Q 不同于右顶点)，若 k1·k2＝－1，求证：直线 PQ 的斜率为定值，并求出此定值．解析：(1)由题意，得 2m＝m2＋1，所以 m＝1.所以椭圆 Γ 的方程为＋y2＝1，双曲线 C 的方程为 x2－y2＝1.(2)双曲线 C 的右顶点为(1,0)，因为 k1·k2＝－1，不妨设 k1>0，则 k2<0.设直线 l1的方程为 y＝k1(x－1)．由得(1－k)x2＋2kx－k－1＝0，则 1·xP＝，得 xP＝，yP＝k1＝.同理，xQ＝，yQ＝，又 k1·k2＝－1，所以 xQ＝＝－＝－xP，yQ＝＝＝yP.因为 yP＝yQ，所以直线 PQ 与 x 轴平行，即 kPQ为定值 0.3．[2019·江西南昌重点中学段考]已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)和定点 M(0,1)，设过点M 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线的交点为 N.(1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程．解析：设直线 AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线 AB 的方程代入抛物线 C 的方程得 x2－2pkx－2p＝0，则 x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①(1)由 x2＝2py 得 y′＝，则 A，B 处的切线斜率的乘积为＝－， 点 N 在以 AB 为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.(2)易得直线 AN：y－y1＝(x－x1)，直线 BN：y－y2＝(x－x2)，联立，得结合①式，解得即 N(pk，－1)．|AB|＝|x2－x1|＝＝·，点 N 到直线 AB ...