4.1.3 导数的概念和几何意义 [A 基础达标]1．已知函数 f(x)＝2x2－4 的图象上一点(1，2)及邻近一点(1＋d，f(1＋d))，则等于( )A．4 B．4dC．4＋2d D．4＋2d2解析：选 C.＝＝＝2d＋4.2．正方体的棱长从 1 增加到 2 时，正方体的体积平均膨胀率为( )A．8 B．7C． D．1解析：选 B. V＝＝23－13＝7.3．球的半径从 a 增加到 a＋h 时，球表面积的平均变化率为( )A．π(2a＋h) B．π(a＋h)C．4π(2a＋h) D．4π(a＋h)解析：选 C. S＝＝＝4π(2a＋h)．4．一个物体的运动方程为 s＝1－t＋t2(其中 s 的单位是 m，t 的单位是 s)，那么物体在 3 s 末的瞬时速度是( )A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s解析：选 C.＝＝5＋d，当 d 趋于 0 时，5＋d 趋于 5.5．如果函数 y＝ax＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为 3，则 a＝________．解析：根据平均变化率的定义，可知＝a＝3.答案：36．函数 y＝x2－2x＋1 在 x＝－2 附近的平均变化率为______．解析：当自变量从－2 变化到－2＋d 时，函数平均变化率＝d－6.答案：d－67．质点的运动方程是 s(t)＝，则质点在 t＝2 时的速度为________．解析：＝＝，当 d 趋于 0 时，趋于－，所以质点在 t＝2 时的速度为－.答案：－8．函数 f(x)＝x2－2，则 f′(－)＝________．解析：＝＝－＋d，当 d 趋于 0 时，－＋d 趋于－，1所以 f′(－)＝－.答案：－9．球半径 r＝a 时，计算球体积相对于 r 的瞬时变化率．解：半径 r 从 a 增加到 a＋d 时，球体积的平均变化率为：＝＝4πa2＋4πad＋πd2，当 d 趋于 0 时，4πa2＋4πad＋πd2趋于 4πa2.即球半径 r＝a 时，球体积相对于 r 的瞬时变化率为 4πa2.10．求函数 y＝在 x＝1 处的导数．解：令 f(x)＝y＝，因为 f(1＋d)－f(1)＝－1，所以＝＝，当 d 趋于 0 时，趋于.即函数 y＝在 x＝1 处的导数为. [B 能力提升]11．若函数 f(x)＝－x2＋x 在[2，2＋d](d>0)上的平均变化率不大于－1，求 d 的取值范围．解：因为函数 f(x)在[2，2＋d]上的平均变化率为：＝＝＝－3－d，所以由－3－d≤－1，得 d≥－2.又因为 d>0，即 d 的取值范围是(0，＋∞)．12．(选做题)甲、乙两人走过的路程 s1(t)、s2(t)与时间 t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？解：在 t0处，s1(t0)＝s2(t0)，但 s1(t0－d)>s2(t0－d)，故<，所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．23
