高考大题规范练(三) 数列1．(2015·四川卷)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列。(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn－1|<成立的 n 的最小值。解 (1)由已知 Sn＝2an－a1，有 an＝Sn－Sn － 1＝2an－2an － 1(n≥2)，即 an＝2an －1(n≥2)。从而 a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1。又因为 a1，a2＋1，a3成等差数列，即 a1＋a3＝2(a2＋1)。所以 a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得 a1＝2。所以，数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列。故 an＝2n。(2)由(1)得＝。所以 Tn＝＋＋…＋＝＝1－。由|Tn－1|<，得<，即 2n>1 000。因为 29＝512<1 000<1 024＝210，所以 n≥10。于是，使|Tn－1|<成立的 n 的最小值为 10。2．(2015·山东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn。已知 2Sn＝3n＋3。(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足 anbn＝log3an，求{bn}的前 n 项和 Tn。解 (1)因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3，当 n>1 时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即 an＝3n－1，又因为 n＝1 时，不满足上式，所以 an＝(2)因为 anbn＝log3an，所以 b1＝，当 n>1 时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n。所以 T1＝b1＝；当 n>1 时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，所以 3Tn＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n)，两式相减，得 2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝＋－(n－1)×31－n＝－，所以 Tn＝－。经检验，n＝1 时也适合。综上可得 Tn＝－。3.(2015·天 津 卷 ) 已 知 数 列 {an} 满 足 an ＋ 2 ＝ qan(q 为 实 数 ， 且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且 a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列。(1)求 q 的值和{an}的通项公式；(2)设 bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前 n 项和。解 (1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即 a4－a2＝a5－a3，所以 a2(q－1)＝a3(q－1)。又因为 q≠1，故 a3＝a2＝2，由 a3＝a1·q，得 q＝2。当 n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2；当 n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝2。所以，{an}的通项公式为 an＝(2)由(1)得 bn＝＝。设{bn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n...
