专题能力训练 15 立体几何中的向量方法能力突破训练1.如图,正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF⊥平面 ABCD,点 G 为 AB 的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面 ADF;(2)求二面角 O-EF-C 的正弦值;(3)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH= HF,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.2.如 图 , 在 四 棱 锥A-EFCB中 ,△AEF为 等 边 三 角 形 , 平 面AEF⊥ 平 面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O 为 EF 的中点.(1)求证:AO⊥BE;(2)求二面角 F-AE-B 的余弦值;(3)若 BE⊥平面 AOC,求 a 的值.3.(2017 山东,理 17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的,G 是的中点.(1)设 P 是上的一点,且 AP⊥BE,求∠CBP 的大小;(2)当 AB=3,AD=2 时,求二面角 E-AG-C 的大小.4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E 为 CD 的中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱 AA1上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由.5.(2017 北京,理 16)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥平面 ABCD,点 M在线段 PB 上,PD∥平面 MAC,PA=PD=,AB=4.(1)求证:M 为 PB 的中点;(2)求二面角 B-PD-A 的大小;(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值.6.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是半圆 O 上除 A,B 外的一个动点,DC 垂直于半圆 O 所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB= .(1)证明:平面 ADE⊥平面 ACD;(2)当三棱锥 C-ADE 体积最大时,求二面角 D-AE-B 的余弦值.思维提升训练7.如图甲所示,BO 是梯形 ABCD 的高,∠BAD=45°,OB=BC=1,OD=3OA,现将梯形 ABCD 沿 OB 折起成如图乙所示的四棱锥 P-OBCD,使得 PC=,E 是线段 PB 上一动点.(1)证明:DE 和 PC 不可能垂直;(2)当 PE=2BE 时,求 PD 与平面 CDE 所成角的正弦值.8.如图,平面 PAD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,∠PAD=90°,且 PA=AD=2;E,F,G 分别是线段PA,PD,CD 的中点.(1)求证:PB∥平面 EFG.(2)求异面直线 EG 与 BD 所成的角的余弦值.(3)在线段 CD 上是否存在一点 Q,使得点 A 到平面 EFQ 的距离为 ?若存在,求出 CQ 的值;若不存在,请说明理由.参考答案专题能力训练 15 立体几何中的向量方法能力突破训练1.解依题意,OF⊥平面 ABCD,如图,以 O 为原点,分别以的...
