考点规范练 27 平面向量的数量积与平面向量的应用 考点规范练 A 册第 18 页 基础巩固1.对任意平面向量 a,b,下列关系式不恒成立的是( )A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A 项,设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;B 项,当 a 与 b 同向时,|a-b|=||a|-|b||;当 a 与 b 非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C 项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D 项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,故选 B.2.已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)·b=( )A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:由已知得|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角 θ=60°,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选 B.3.(2019 全国Ⅰ,理 7)已知非零向量 a,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则 a 与 b 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2 π3D. 5 π6答案:B解析:因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以 a·b=b2.所以 cos
= a·b|a|·|b| =|b|22|b|2=12,所以 a 与 b 的夹角为π3,故选 B.4.(2019 全国Ⅱ,理 3)已知⃗AB=(2,3),⃗AC=(3,t),|⃗BC|=1,则⃗AB·⃗BC=( )A.-3B.-2C.2D.3答案:C解析:由⃗BC=⃗AC−⃗AB=(1,t-3),|⃗BC|=❑√12+(t - 3)2=1,得 t=3,则⃗BC=(1,0).所以⃗AB·⃗BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选 C.5.(2019 河北唐山一中高三下学期冲刺)设四边形 ABCD 为平行四边形,|⃗AB|=6,|⃗AD|=4.若点 M,N满足⃗BM =3⃗MC ,⃗DN=2⃗NC,则⃗AM ·⃗NM=( )A.20B.15C.9D.6答案:C解析:因为⃗BM =3⃗MC ,⃗DN=2⃗NC,所以⃗AM=⃗AB+ 34 ⃗BC ,⃗NM=13⃗AB−14 ⃗BC,则⃗AM ·⃗NM=(⃗AB+ 34⃗BC)·(13⃗AB - 14⃗BC)=13⃗AB2− 316⃗BC2=9.6.(2019 广西桂林高三一模)已知平面向量⃗AB,⃗AC的模都为 2,<⃗AB,⃗AC>=90°,若⃗BM =λ⃗MC(λ≠0),则⃗AM ·(⃗AB+⃗AC)=( )A.4B.2C.❑√3D.0答案:A解析:设 BC 的中点为 N,根据向量加法的平行四边形法则得到⃗AB+⃗AC=2⃗AN,所以⃗AM ·(⃗AB+⃗AC)=2⃗AM ·⃗AN .平面向量⃗AB,⃗AC的模都为 2,AN 是 Rt△ABC 的中线,则|⃗AN|=❑√2.由向量投影的几何意义可得 2⃗AM ·⃗AN=2|⃗AN|2=4.故选 A.7.已知向量 p=(2,-3),q=(x,6),且 p∥q,则|p+q|的值为( )A.❑√5B.❑√13C.5D.13答案:B解析:由题意,得 2×6+3x=0,...
