复 习 课 [整合·网络构建] [警示·易错提醒]1．数学归纳法的两个关注点．(1)关注用数学归纳法证题的步骤．第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证．两步缺一不可，否则不能保证结论成立．(2)关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数 n 有关的问题，这里 n 是任意的正整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数 n 有关的问题都可以用数学归纳法．2．数学归纳法的两个易错点．(1)在数学归纳法中，没有应用归纳假设．(2)归纳推理不到位．专题一 数学归纳法在使用数学归纳法证明不等式时，一般来说，第一步，验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题 P(k＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键． [例❶] 设 0＜a＜1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数 n，有 1＜an＜.证明：(1)当 n＝1 时，a1＞1，a1＝1＋a＜，命题成立．(2)假设 n＝k(k∈N*)时，命题成立．即 1＜ak＜，当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1.同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜，故当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1＜ak＋1＜，综合(1)(2)可知，对一切正整数 n，有 1＜an＜.归纳升华用数学归纳法证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由 n＝k 成立，推导 n＝k＋1 也成立时，其他证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题．[变式训练] 证明不等式＋＋…＋＜1(n≥2，n∈N*)．证明：先证明＋＋…＋＜1－(n≥2)，(*)对(*)运用数学归纳法证明：1(1)当 n＝2 时，(*)显然成立．(2)设 n＝k 时，不等式(*)成立，则＋＋…＋＜1－.当 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋＜1－＋＜1－＋＝1－＋＝1－.故当 n＝k＋1 时，不等式(*)成立．根据(1)和(2)知，对 n∈N*且 n≥2，不等式(*)成立，故原不等式成立.专题二 归纳、猜想、证明思想的应用归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．[例 2] 数列{an}满足 Sn＝2n－an.(1)计算...
