考点一 直线与平面所成的角及二面角1．(2014·广东，5)已知向量 a＝(1，0，－1)，则下列向量中与 a 成 60°夹角的是( )A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)解析 设选项中的向量与 a 的夹角为 θ，对于选项 A，由于 cos θ＝＝－，此时夹角 θ为 120°，不满足题意；对于选项 B，由于 cos θ＝＝，此时夹角 θ 为 60°，满足题意．故选 B.答案 B2．(2014·四川，8)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 为线段 BD 的中点．设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α，则 sin α 的取值范围是( ) A. B. C. D.解析 易证 AC1⊥平面 A1BD，当点 P 在线段 CC1上从 C 运动到 C1时，直线 OP 与平面 A1BD所成的角 α 的变化情况：∠AOA1→→∠C1OA1(点 P 为线段 CC1 的中点时，α＝)，由于sin∠AOA1＝，sin∠C1OA1＝>，sin ＝1，所以 sin α 的取值范围是[，1]．答案 B3．(2014·新课标全国Ⅱ，11)直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B.C. D.解析 以 C1 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 BC＝CA＝CC1＝2，则A(2，0，2)，N(1，0，0)，M(1，1，0)，B(0，2，2)，∴AN＝(－1，0，－2)，BM＝(1，－1，－2)，∴cos〈AN，BM〉＝＝＝＝，故选 C.答案 C4．(2013·山东，4)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( ) A. B. C. D.解析 如图所示，由棱柱体积为，底面正三角形的边长为，可求得棱柱的高为.设 P 在平面 ABC 上射影为 O，则可求得 AO 长为 1，故 AP 长为＝2.故∠PAO＝，即 PA 与平面 ABC 所成的角为.答案 B5．(2013·大纲全国，10)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.解析 设 AB＝1，则 AA1＝2，分别以D1A1、D1C1、D1D的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．如右图所示：则 D(0，0，2)，C1(0，1，0)，B(1，1，2)，C(0，1，2).DB＝(1，1，0)，DC1＝(0，1，－2)，DC＝(0，1，0)，设 n＝(x，y，z)为平面 BDC1的一个法向量，则即，取 n＝(－2，2，1)．设 CD 与平面 BDC1所成角为 θ则 sin θ＝＝...
