课时作业 14 定积分的简单应用知识点一 不分割图形面积的求解 1.由曲线 y＝f(x)(f(x)≤0)，直线 x＝a，x＝b(a＜b)与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 S等于( )答案 B解析 由定积分的几何意义，可知 S＝－af(x)dx.2．直线 y＝4x 与曲线 y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A．2 B．4 C．2 D．4答案 D解析 由 4x＝x3，解得 x＝0 或 x＝2 或 x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x 与曲线 y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4x－x3)dx＝＝4.3．由曲线 y＝，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )A. B．4 C. D．6答案 C解析 如下图阴影部分面积即为所求，求得曲线 y＝与直线 y＝x－2 的交点为 A(4,2)，∴面积 S 阴＝(－x＋2)dx＝＝.1知识点二 分割图形面积的求解4.由抛物线 y＝x2－x，直线 x＝－1 及 x 轴围成的图形的面积为( )A. B．1 C. D.答案 B解析 由图可知，所求面积S＝(x2－x)dx＋(x－x2)dx＝＋＝＋＝1.5．曲线 y＝x3与直线 y＝x 所围封闭图形的面积等于( )答案 C解析 如下图．阴影部分的面积 S＝2(x－x3)dx.故选 C.6．求曲线 y＝x2和直线 x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值．2解 由定积分与微积分基本定理，得S＝S1＋S2＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝＋＝t3－t3＋－t2－t3＋t3＝t3－t2＋，t∈(0,1)，所以 S′＝4t2－2t，所以 t＝或 t＝0(舍去)．当 t 变化时，S′，S 变化情况如下表：tS′－0＋S单调递减极小值单调递增所以当 t＝时，S 最小，且 Smin＝.一、选择题1．如图所示，曲线 y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0 围成的阴影部分的面积为( )A.|x2－1|dx B.C.(x2－1)dx D.(x2－1)dx答案 A解析 由曲线 y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如图所示的阴影部分的面积相等，即|x2－1|dx.故选 A.32．如图，阴影部分的面积为( )A．9 B. C. D.答案 B解析 由求得两曲线交点为 A(－2，－4)，B(1，－1)．结合图形可知阴影部分的面积为3．已知二次函数 y＝f(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为( )4A. B. C. D.答案 B解析 由题中图象易知 f(x)＝－x2＋1，则所求面积为 2(－x2＋1)dx＝2＝.故选 B.4．直线 l 过抛物线 C：x2＝4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( )A. B．2 C. D.答案 C解析 由题知，抛物线 C 的...
